Caratterizzazione di un elemento algebrico

[Rodolfo Medina]

Salve a tutti. Sono alle prese col teorema di Algebra 2 che afferma che un
elemento $a$ di un campo $F$ è algebrico se e solo se $K[a] = K(a)$. Qualcuno
lo conosce e può aiutarmi? È il viceversa che non riesco a capire: se $K[a] =
K(a)$ allora $a$ è algebrico.

Grazie mille - Rodolfo

[beltzer]

se [tex]K[a][/tex] è un campo allora l'elemento [tex]a^{-1}[/tex] appartiene a [tex]K[a][/tex], quindi [tex]a^{-1}=b_na^n+b_{n-1}a^{n-1}+...+b_0[/tex] per oppurtuni [tex]b_i[/tex] appartententi a [tex]K[/tex].
moltiplicando a destra e sinistra per [tex]a[/tex] si ha che [tex]1=b_na^{n+1}+b_{n-1}a^{n}+...+b_0a[/tex] quindi [tex]a[/tex] è radice del polinomio [tex]f(x)[/tex] appartente a [tex]K[x][/tex], dove
[tex]f(x)=b_nx^{n+1}+b_{n-1}x^{n}+...+b_0x-1[/tex]
quindi [tex]a[/tex] è algebrico.
ti convince?

[Rodolfo Medina]

Grazie, mi pare che funzioni! Il testo di Algebra su cui sto studiando tira in ballo un teorema
sugli elementi invertibili di $K[x]$ che non capisco come possano servire. Ma il
ragionamento da te svolto mi pare funzioni ugualmente. Grazie mille!