Caratteristica di un campo quoziente
Dovrei risolvere un esercizio che mi richiede di trovare la caratteristica di $ RR[x] $$ /(x^(2)+1) $, dove con $ (x^(2)+1) $ si intende l'ideale generato dal polinomio $ x^(2)+1 $.
Io ho pensato che l'uno dell'insieme è la classe di 1 ovvero: $ 1+(x^(2)+1) $ che corrisponde all'insieme $ {1+ (x^(2)+1)g $ $ / g in RR[x]} $, quindi la caratteristica di questo insieme dovrebbe essere il più piccolo intero $ k $ tale che $ k(1+(x^(2)+1)g) $ appartenga all'ideale $ (x^(2)+1) $, che è lo zero di questo insieme. Ma non riesco più ad andare avanti...
E' un disastro?
Grazie anticipatamente!
Io ho pensato che l'uno dell'insieme è la classe di 1 ovvero: $ 1+(x^(2)+1) $ che corrisponde all'insieme $ {1+ (x^(2)+1)g $ $ / g in RR[x]} $, quindi la caratteristica di questo insieme dovrebbe essere il più piccolo intero $ k $ tale che $ k(1+(x^(2)+1)g) $ appartenga all'ideale $ (x^(2)+1) $, che è lo zero di questo insieme. Ma non riesco più ad andare avanti...
E' un disastro?
Grazie anticipatamente!
Risposte
Potrebbe esserti utile osservare che se c'è un morfismo non banale di anelli tra due domini di integrità (con unità), allora i due domini devono avere la stessa caratteristica. Sapresti dimostrare questa mia affermazione?
Forse potrei dire che dire che un morfismo di anelli $ f: A -> B $ manda l'uno di $ A $ nell'uno di $ B $ e in un dominio di integrità la caratteristica o è zero o è un primo $ p $. Quindi ponendo $ m $ = caratteristica di A, $ n $ = caratteristica di B, $ 1 $ = unità di A, $ 1' $ = unità di B, avrò che: $ f(m*1) = f(m)*f(1) = f(m)* 1' $. Inoltre $ f(m*1) = f(0)=0= n*1' $, quindi $ f(m) = n $.
Quindi se $ m=0 $, $ f(m)=f(0)=0=n $, se invece $ m $ è un primo $ f(p) $ andrà in se stesso affinchè si annulli $ 1' $.
Anche se non sono molto sicura che si dimostri così...
Quindi in questo caso potrei dire che l'anello $ RR[x]$ $/(x^(2)+1)$ è isomorfo a $ CC $, che ha caratteristica $ 0 $; pertanto la sua caratteristica è $ 0 $, giusto?
Quindi se $ m=0 $, $ f(m)=f(0)=0=n $, se invece $ m $ è un primo $ f(p) $ andrà in se stesso affinchè si annulli $ 1' $.
Anche se non sono molto sicura che si dimostri così...
Quindi in questo caso potrei dire che l'anello $ RR[x]$ $/(x^(2)+1)$ è isomorfo a $ CC $, che ha caratteristica $ 0 $; pertanto la sua caratteristica è $ 0 $, giusto?
Hai fatto un po' di confusione nell'esposizione, ma l'idea c'è tutta. Ti scrivo la dimostrazione che avrei dato io: sappiamo che la caratteristica di un dominio di integrità è per forza un numero primo. Sia [tex]f\colon A \to B[/tex] un morfismo non banale tra domini di integrità (con unità). Siccome [tex]f[/tex] è non banale, allora [tex]f(1_A) = 1_B[/tex]; se [tex]p_A[/tex] è la caratteristica di [tex]A[/tex] allora [tex]p_A 1_A = 0_A[/tex] e quindi [tex]0_B = f(0_A) = f(p_A 1_A) = p_A f(1_A) = p_A 1_B[/tex]. Ma allora [tex]p_B \mid p_A[/tex], senonché questi sono numeri primi e quindi essendo [tex]p_B \ne 1[/tex] (l'anello banale non ha l'unità!) segue [tex]p_B = p_A[/tex] cioè i due anelli hanno la stessa caratteristica.
Questa è la strada che potevi percorrere fin dall'inizio: gli isomorfismi conservano tutte le proprietà. Ma il lemma che ti ho suggerito ha una portata molto più generale: siccome c'è un morfismo non banale tra [tex]\mathbb{R}[x][/tex] e [tex]\mathbb{R}[x]/(x^2+1)[/tex] (è la proiezione canonica sul quoziente), allora [tex]\mathbb{R}[x][/tex] e [tex]\mathbb{R}[x]/(x^2+1)[/tex] hanno la stessa caratteristica, che è [tex]0[/tex]. Questo procedimento è più generale perché se al posto di [tex]x^2 + 1[/tex] avessi messo un altro polinomio [tex]p(x)[/tex] (bada bene, che sia irriducibile, però!) allora non sarebbe più stato scontato che [tex]\mathbb{R}[x]/(p(x)) \simeq \mathbb{C}[/tex].
Nota: in realtà, fintanto che ci limitiamo a polinomi a coefficienti in [tex]\mathbb{R}[/tex] c'è ben poco da fare. Tutti i quozienti [tex]\mathbb{R}[x]/(p(x))[/tex] dove [tex]p(x)[/tex] è un polinomio irriducibile a coefficienti reali sono isomorfi a [tex]\mathbb{C}[/tex]. Sapresti dare una dimostrazione di questo fatto? (se non ci riesci non preoccuparti, non credo che possa essere una domanda standard... però è interessante provare).
Hint:
"G.G":
Quindi in questo caso potrei dire che l'anello [tex]\mathbb{R}[x] / (x^2+1)[/tex] è isomorfo a [tex]\mathbb{C}[/tex], che ha caratteristica [tex]0[/tex], pertanto la sua caratteristica è [tex]0[/tex], giusto?
Questa è la strada che potevi percorrere fin dall'inizio: gli isomorfismi conservano tutte le proprietà. Ma il lemma che ti ho suggerito ha una portata molto più generale: siccome c'è un morfismo non banale tra [tex]\mathbb{R}[x][/tex] e [tex]\mathbb{R}[x]/(x^2+1)[/tex] (è la proiezione canonica sul quoziente), allora [tex]\mathbb{R}[x][/tex] e [tex]\mathbb{R}[x]/(x^2+1)[/tex] hanno la stessa caratteristica, che è [tex]0[/tex]. Questo procedimento è più generale perché se al posto di [tex]x^2 + 1[/tex] avessi messo un altro polinomio [tex]p(x)[/tex] (bada bene, che sia irriducibile, però!) allora non sarebbe più stato scontato che [tex]\mathbb{R}[x]/(p(x)) \simeq \mathbb{C}[/tex].
Nota: in realtà, fintanto che ci limitiamo a polinomi a coefficienti in [tex]\mathbb{R}[/tex] c'è ben poco da fare. Tutti i quozienti [tex]\mathbb{R}[x]/(p(x))[/tex] dove [tex]p(x)[/tex] è un polinomio irriducibile a coefficienti reali sono isomorfi a [tex]\mathbb{C}[/tex]. Sapresti dare una dimostrazione di questo fatto? (se non ci riesci non preoccuparti, non credo che possa essere una domanda standard... però è interessante provare).
Hint:
Ti ringrazio molto per la risposta perchè ora ho le idee più chiare!
Se non sbaglio i polinomi irriducibili in $ RR $ sono quelli di secondo grado con delta negativo. Forse si potrebbe considerare $ RR[x] $ $ /(p(x)) $, dove $ p(x) $ è un polinomio irriducibile a coefficenti in $ RR $ e quindi di grado 2, come $ RR $-spazio vettoriale di dimensione 2, con base $ {1, v} $.
Quindi $ RR[x] $ $ /(p(x)) = {a+bv$ $ t.c $ $ a,b in RR} $ e potremmo identificare questo insieme con $ {a+ib $ $t.c $ $ a,b in RR } $, che corrisponde a $ CC $.
Ho visto fare questa cosa alla mia prof nel caso di $ RR[x] $ $ /(x^(2)+1) $, ma visto che tutti i polinomi irriducibili a coefficenti in $ RR $ hanno grado 2 dovrebbe valere per tutti, giusto?
Se non sbaglio i polinomi irriducibili in $ RR $ sono quelli di secondo grado con delta negativo. Forse si potrebbe considerare $ RR[x] $ $ /(p(x)) $, dove $ p(x) $ è un polinomio irriducibile a coefficenti in $ RR $ e quindi di grado 2, come $ RR $-spazio vettoriale di dimensione 2, con base $ {1, v} $.
Quindi $ RR[x] $ $ /(p(x)) = {a+bv$ $ t.c $ $ a,b in RR} $ e potremmo identificare questo insieme con $ {a+ib $ $t.c $ $ a,b in RR } $, che corrisponde a $ CC $.
Ho visto fare questa cosa alla mia prof nel caso di $ RR[x] $ $ /(x^(2)+1) $, ma visto che tutti i polinomi irriducibili a coefficenti in $ RR $ hanno grado 2 dovrebbe valere per tutti, giusto?
Figurati!
Comunque, immagino che tu non abbia fatto queste cose in un corso di teoria dei campi, altrimenti la mia domanda ti sarebbe senz'altro apparsa troppo facile.
In tal caso ti spiego una cosa (per tua conoscenza personale, direi che va oltre gli scopi del tuo corso). E' buona l'idea di considerare [tex]\mathbb{R}[x]/(p(x))[/tex] come spazio vettoriale di dimensione [tex]2[/tex] su [tex]\mathbb{R}[/tex], con base [tex]\{1,v\}[/tex] (dove [tex]v[/tex] è una radice di [tex]p(x)[/tex]). Tuttavia l'applicazione che suggerisci tu
[tex]\tau \colon \mathbb{C} \to \mathbb{C} \\ a + i b \mapsto a + b v[/tex]
non è un omomorfismo di campi a meno che [tex]v \in \{\pm i\}[/tex]. Infatti, se [tex]\tau \colon \mathbb{C} \to \mathbb{C}[/tex] è un automorfismo di [tex]\mathbb{C}[/tex] allora [tex]\tau(i)^2 + 1 = \tau(i^2) + \tau(1) = \tau(i^2 + 1) = 0[/tex] e quindi [tex]\tau(i)[/tex] è radice di [tex]x^2+1[/tex].
Per formalizzare l'idea occorre in effetti un po' di lavoro (se ti interessa, ti consiglio di seguire un corso di teoria dei campi e di Galois, a meno che non sia obbligatorio da voi); intuitivamente potresti pensare a [tex]\mathbb{R}[x]/(p(x))[/tex] come al più piccolo campo che contiene [tex]\mathbb{R}[x][/tex] ed una radice di [tex]p(x)[/tex] (sempre a patto che [tex]p(x)[/tex] sia irriducibile). Se questa mia ultima affermazione ti confonde le idee, dimenticala. Capirai tutto più avanti, al momento opportuno!
Comunque, immagino che tu non abbia fatto queste cose in un corso di teoria dei campi, altrimenti la mia domanda ti sarebbe senz'altro apparsa troppo facile.
In tal caso ti spiego una cosa (per tua conoscenza personale, direi che va oltre gli scopi del tuo corso). E' buona l'idea di considerare [tex]\mathbb{R}[x]/(p(x))[/tex] come spazio vettoriale di dimensione [tex]2[/tex] su [tex]\mathbb{R}[/tex], con base [tex]\{1,v\}[/tex] (dove [tex]v[/tex] è una radice di [tex]p(x)[/tex]). Tuttavia l'applicazione che suggerisci tu
[tex]\tau \colon \mathbb{C} \to \mathbb{C} \\ a + i b \mapsto a + b v[/tex]
non è un omomorfismo di campi a meno che [tex]v \in \{\pm i\}[/tex]. Infatti, se [tex]\tau \colon \mathbb{C} \to \mathbb{C}[/tex] è un automorfismo di [tex]\mathbb{C}[/tex] allora [tex]\tau(i)^2 + 1 = \tau(i^2) + \tau(1) = \tau(i^2 + 1) = 0[/tex] e quindi [tex]\tau(i)[/tex] è radice di [tex]x^2+1[/tex].
Per formalizzare l'idea occorre in effetti un po' di lavoro (se ti interessa, ti consiglio di seguire un corso di teoria dei campi e di Galois, a meno che non sia obbligatorio da voi); intuitivamente potresti pensare a [tex]\mathbb{R}[x]/(p(x))[/tex] come al più piccolo campo che contiene [tex]\mathbb{R}[x][/tex] ed una radice di [tex]p(x)[/tex] (sempre a patto che [tex]p(x)[/tex] sia irriducibile). Se questa mia ultima affermazione ti confonde le idee, dimenticala. Capirai tutto più avanti, al momento opportuno!
No non ho seguito un corso di teoria dei campi ma un corso di algebra, nel quale, però, abbiamo fatto le estensioni di campi. Quindi forse avrei dovuto sapere lo stesso la risposta :oops:
Sapendo che tutti i polinomi irriducibili su $ RR $ hanno come radice $ i $ o un numero che contiene $ i $ e sapendo che $ RR[x] $$ /(p(x)) $ è il più piccolo campo che contiene $ i $ e contiene $ RR $ si trova che questo campo è proprio $ CC $, giusto?
In ogni caso seguirò il tuo consiglio perchè l'argomento mi appassiona... :-)
Sapendo che tutti i polinomi irriducibili su $ RR $ hanno come radice $ i $ o un numero che contiene $ i $ e sapendo che $ RR[x] $$ /(p(x)) $ è il più piccolo campo che contiene $ i $ e contiene $ RR $ si trova che questo campo è proprio $ CC $, giusto?
In ogni caso seguirò il tuo consiglio perchè l'argomento mi appassiona... :-)
Le linee intuitive del discorso sono quelle che dici tu, ma la formalizzazione è un po' più sottile.
In generale se [tex]K[/tex] è un campo e [tex]p(X) \in K[X][/tex] è un polinomio irriducibile, allora il campo [tex]K[X]/(p(X))[/tex] contiene una radice di [tex]p(X)[/tex]; inoltre se [tex]K \subseteq F[/tex] è un'estensione di campi e se [tex]F[/tex] contiene una radice [tex]\alpha[/tex] di [tex]p(X) \in F[X][/tex], allora [tex]K[\alpha] \simeq K[X]/(p(X))[/tex].
Nel nostro caso [tex]K = \mathbb{R}[/tex], e [tex]\mathbb{C}[/tex] certo contiene una radice [tex]\alpha = a + i b[/tex] del polinomio irriducibile considerato. Allora per quello che ho scritto sopra, concludiamo che [tex]\mathbb{R}/(p(x))[/tex] è isomorfo a [tex]\mathbb{R}[\alpha][/tex] (l'estensione di [tex]\mathbb{R}[/tex] con l'elemento [tex]\alpha[/tex]). Ma essendo questo un campo e contenendo [tex]\mathbb{R}[/tex] e [tex]\alpha[/tex], allora dobbiamo concludere che contiene anche [tex]\alpha - a = i b[/tex] e quindi, essendo [tex]b \ne 0[/tex], anche [tex]i[/tex]. Pertanto [tex]\mathbb{C} \subseteq \mathbb{R}[\alpha][/tex], da cui [tex]\mathbb{C} = \mathbb{R}[\alpha][/tex]. Pertanto c'è effettivamente un isomorfismo tra [tex]\mathbb{C}[/tex] e [tex]\mathbb{R}/(p(x))[/tex], solo che per trovarlo, bisogna avere l'accortezza di non usare [tex]\{1,i\}[/tex] come base di [tex]\mathbb{C}[/tex], ma la base [tex]\{1,a + i b\}[/tex].
In generale se [tex]K[/tex] è un campo e [tex]p(X) \in K[X][/tex] è un polinomio irriducibile, allora il campo [tex]K[X]/(p(X))[/tex] contiene una radice di [tex]p(X)[/tex]; inoltre se [tex]K \subseteq F[/tex] è un'estensione di campi e se [tex]F[/tex] contiene una radice [tex]\alpha[/tex] di [tex]p(X) \in F[X][/tex], allora [tex]K[\alpha] \simeq K[X]/(p(X))[/tex].
Nel nostro caso [tex]K = \mathbb{R}[/tex], e [tex]\mathbb{C}[/tex] certo contiene una radice [tex]\alpha = a + i b[/tex] del polinomio irriducibile considerato. Allora per quello che ho scritto sopra, concludiamo che [tex]\mathbb{R}/(p(x))[/tex] è isomorfo a [tex]\mathbb{R}[\alpha][/tex] (l'estensione di [tex]\mathbb{R}[/tex] con l'elemento [tex]\alpha[/tex]). Ma essendo questo un campo e contenendo [tex]\mathbb{R}[/tex] e [tex]\alpha[/tex], allora dobbiamo concludere che contiene anche [tex]\alpha - a = i b[/tex] e quindi, essendo [tex]b \ne 0[/tex], anche [tex]i[/tex]. Pertanto [tex]\mathbb{C} \subseteq \mathbb{R}[\alpha][/tex], da cui [tex]\mathbb{C} = \mathbb{R}[\alpha][/tex]. Pertanto c'è effettivamente un isomorfismo tra [tex]\mathbb{C}[/tex] e [tex]\mathbb{R}/(p(x))[/tex], solo che per trovarlo, bisogna avere l'accortezza di non usare [tex]\{1,i\}[/tex] come base di [tex]\mathbb{C}[/tex], ma la base [tex]\{1,a + i b\}[/tex].
Ok ora ho capito bene!! grazie ancora!
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