Capire se ho svolto bene un esercizio sugli anelli
Ciao ragazzi ho sempre dubbi sugli esercizi che svolgo in quanto su questo argomento la mia prof non mi ha dato esercizi guida, l'esercizio è il seguente: (riporto solo i punti che mi interessano)
Sono assegnate sull'insieme $A = Z_6 xx Z_3$ le leggi di composizione interne $+$, $xx$ definite come segue: $AA (x, y), (z, t) in A$
$(x, y) + (z, t) = (x +z, y + t), (x, y) xx (z,t) = (xz, yt)$
e sia $B = {(O, y) : y in Z_3}$.
(a) Determinare l'elemento neutro della struttura (A, +);
(b) determinare l'elemento neutro della struttura (A,· )
(c) provare che (A, +) è un gruppo abeliano.
(d) provare che (A,· ) è un monoide commutativo.
(e) verificare che (A, +,.) è un anello commutativo.
(f) determinare l'unità di (A, . ).
(g) verificare che B è un sottogruppo di (A, + ).
a) Per dimostrare questo punto ho semplicemente impostato il sistema, ho scritto:
Cerchiamo $(z,t)in Z_6xxZ_3$ tale che $AA (a,b)in Z_6xxZ_3, (a+z, b+t)=(a, b)$.
Dunque ho esplicitato e messo a sistema $a+z=a$ e $b+t=b$ e dunque concludo che la coppia $(0,0) in Z_6xZ_3$ è l'elemento neutro di (A,+). (ovviamente facendo la verifica per un generico (a,b)+(0,0).
b) come il punto precedente solo con la moltiplicazione e concludo nella stessa maniera dicendo che (1,1) è elemento neutro della struttura.
c) Qui ho dei dubbi.. Per svolgere questo punto ho scritto le tabelle additive di $Z_6$ e $Z_3$ e ho commentato dicendo che dalle tabelle di $+$ è possibile notare come l'operazione + sia associativa e commutativa, che è possibile notare che 0 è elemento neutro in entrambe e che ogni numero ha rispettivo simmetrico. Concludo dicendo che dato che $Z_6$ e $Z_3$ sono due gruppi abeliani rispetto all'addizione anche il prodotto $Z_6xxZ_3$ è un gruppo abeliano.
d) Stessa cosa del punto precedente, ho scritto le tabelle moltiplicative di $Z_6$ e $Z_3$ e ho evidenziato come sia $Z_6$ e $Z_3$ siano due strutture associative rispetto alla moltiplicazione e che esiste elemento neutro la coppia (1, 1) e concludo alla stessa maniera del punto precedente. Ovvero, dato che $Z_6$ e $Z_3$ sono due monoidi commutativi rispetto alla moltiplicazione anche il prodotto $Z_6xxZ_3$ è un monoide commutativo.
Basta questo? O avrei potuto semplicemente mostrare come ho fatto nei punti a e b , ovvero, semplicemente dimostrando le varie proprietà con dei valori generici senza scrivere le tabelle di Z6 e Z3? Avevo pensato di fare la tabella delle coppie Z3 x Z6 ma sarebbe stata troppo lunga.
e) Qui commento scrivendo che abbiamo già provato in precedenza che $(A, +)$ è un gruppo abeliano e che $(A, xx)$ è una struttura associativa e dunque rimane da verificare la distributività della moltiplicazione rispetto all'addizione. Ma dato che $(A, xx)$ è commutativa dunque anche questa proprietà è verificata. Dunque $(A, +, xx)$ è un anello commutativo.
f) la coppia ( 1, 1 ) è l'unità di $(A, xx)$;
g) Qui ho dimostrato le tre proprietà del Teorema dei sottogruppi ovvero SG1, SG2, SG3,
SG1) B diverso dall'insieme vuoto e questo è ovvio.
SG2) Ho fatto le addizioni delle coppie:
(0,0)+(0,0)=(0,0)
(0,0)+(0,1)=(0,1)
(0,0)+(0,2)=(0,2)
(0,1)+(0,0)=(0,1)
(0,1)+(0,1)=(0,2)
(0,1)+(0,2)=(0,0)
(0,2)+(0,0)=(0,2)
(0,2)+(0,1)=(0,0)
(0,2)+(0,2)=(0,1)
SG3) Ho calcolato il simmetrico delle varie coppie:
-(0,0)=(0,0)
-(0,1)=(0,2)
-(0,2)=(0,1)
Tutte le coppie ottenute appartengono a B. Quindi è un sottogruppo di $(A, +)$
Vorrei capire se è corretto il mio svolgimento o se andava fatto diversamente. Grazie in anticipo.
Sono assegnate sull'insieme $A = Z_6 xx Z_3$ le leggi di composizione interne $+$, $xx$ definite come segue: $AA (x, y), (z, t) in A$
$(x, y) + (z, t) = (x +z, y + t), (x, y) xx (z,t) = (xz, yt)$
e sia $B = {(O, y) : y in Z_3}$.
(a) Determinare l'elemento neutro della struttura (A, +);
(b) determinare l'elemento neutro della struttura (A,· )
(c) provare che (A, +) è un gruppo abeliano.
(d) provare che (A,· ) è un monoide commutativo.
(e) verificare che (A, +,.) è un anello commutativo.
(f) determinare l'unità di (A, . ).
(g) verificare che B è un sottogruppo di (A, + ).
a) Per dimostrare questo punto ho semplicemente impostato il sistema, ho scritto:
Cerchiamo $(z,t)in Z_6xxZ_3$ tale che $AA (a,b)in Z_6xxZ_3, (a+z, b+t)=(a, b)$.
Dunque ho esplicitato e messo a sistema $a+z=a$ e $b+t=b$ e dunque concludo che la coppia $(0,0) in Z_6xZ_3$ è l'elemento neutro di (A,+). (ovviamente facendo la verifica per un generico (a,b)+(0,0).
b) come il punto precedente solo con la moltiplicazione e concludo nella stessa maniera dicendo che (1,1) è elemento neutro della struttura.
c) Qui ho dei dubbi.. Per svolgere questo punto ho scritto le tabelle additive di $Z_6$ e $Z_3$ e ho commentato dicendo che dalle tabelle di $+$ è possibile notare come l'operazione + sia associativa e commutativa, che è possibile notare che 0 è elemento neutro in entrambe e che ogni numero ha rispettivo simmetrico. Concludo dicendo che dato che $Z_6$ e $Z_3$ sono due gruppi abeliani rispetto all'addizione anche il prodotto $Z_6xxZ_3$ è un gruppo abeliano.
d) Stessa cosa del punto precedente, ho scritto le tabelle moltiplicative di $Z_6$ e $Z_3$ e ho evidenziato come sia $Z_6$ e $Z_3$ siano due strutture associative rispetto alla moltiplicazione e che esiste elemento neutro la coppia (1, 1) e concludo alla stessa maniera del punto precedente. Ovvero, dato che $Z_6$ e $Z_3$ sono due monoidi commutativi rispetto alla moltiplicazione anche il prodotto $Z_6xxZ_3$ è un monoide commutativo.
Basta questo? O avrei potuto semplicemente mostrare come ho fatto nei punti a e b , ovvero, semplicemente dimostrando le varie proprietà con dei valori generici senza scrivere le tabelle di Z6 e Z3? Avevo pensato di fare la tabella delle coppie Z3 x Z6 ma sarebbe stata troppo lunga.
e) Qui commento scrivendo che abbiamo già provato in precedenza che $(A, +)$ è un gruppo abeliano e che $(A, xx)$ è una struttura associativa e dunque rimane da verificare la distributività della moltiplicazione rispetto all'addizione. Ma dato che $(A, xx)$ è commutativa dunque anche questa proprietà è verificata. Dunque $(A, +, xx)$ è un anello commutativo.
f) la coppia ( 1, 1 ) è l'unità di $(A, xx)$;
g) Qui ho dimostrato le tre proprietà del Teorema dei sottogruppi ovvero SG1, SG2, SG3,
SG1) B diverso dall'insieme vuoto e questo è ovvio.
SG2) Ho fatto le addizioni delle coppie:
(0,0)+(0,0)=(0,0)
(0,0)+(0,1)=(0,1)
(0,0)+(0,2)=(0,2)
(0,1)+(0,0)=(0,1)
(0,1)+(0,1)=(0,2)
(0,1)+(0,2)=(0,0)
(0,2)+(0,0)=(0,2)
(0,2)+(0,1)=(0,0)
(0,2)+(0,2)=(0,1)
SG3) Ho calcolato il simmetrico delle varie coppie:
-(0,0)=(0,0)
-(0,1)=(0,2)
-(0,2)=(0,1)
Tutte le coppie ottenute appartengono a B. Quindi è un sottogruppo di $(A, +)$
Vorrei capire se è corretto il mio svolgimento o se andava fatto diversamente. Grazie in anticipo.
Risposte
Tutto sommato va bene. Solo, non c'è nessun motivo di scrivere le tavole delle operazioni di somma e prodotto; è sufficiente verificare le varie condizioni per elementi generici. Altrimenti, io ti domando: come dimostri la stessa cosa per due anelli che sono insiemi infiniti? E tu sei fregat* 
"solaàl":
Tutto sommato va bene. Solo, non c'è nessun motivo di scrivere le tavole delle operazioni di somma e prodotto; è sufficiente verificare le varie condizioni per elementi generici. Altrimenti, io ti domando: come dimostri la stessa cosa per due anelli che sono insiemi infiniti? E tu sei fregat*
Grazie! ho fatto le tabelle perchè l'esercizio mi chiedeva anche di trovare i vari divisori dello zero e elementi unitari e faceva comodo avere le tabelle a portata di mano
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