Campo ordinato che estende R e infinitesimi

[Daniele Florian]

Qualcuno mi può aiutare a dimostrare la seguente:
"Un campo ordinato che estende propriamente $RR$ contiene infiniti e infinitesimi"

Premesso che per infinitesimo di K si intende un $ x in K $ tale che $ AA n in mathbb(N) $ si ha $x < 1/n$, un infinito è $y in K$ tale che $ AA n in mathbb(N) $ si ha $y < n$

ora, è chiaro che se un campo contiene infinitesimi per la chiusura rispetto all inverso deve contenere infiniti. Dunque mi basta dimostrare che un campo ordinato che estende R ha infinitesimi. Come posso farlo?

ho pensato a un assurdo ma proprio non concludo..

[ViciousGoblin]

Mi pare che quanto segue faccia al caso tuo.
Supponiamo che $x\in K$, ma $x\notin\R$. Possiamo supporre $x>0$ (se no prendo $-x$). Dato che $K$ è ordinato, deve essere o $x<1$ o $x>1$: supponiamo valga il primo caso (se no passo a $1/x$). Allora l'insieme $A_x:=\{r\in\R: 0\leq r $0

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