Campo di spezzamento su $\Z_p\$
salve a tutti!
vorrei dei chiarimenti sul concetto di campo di spezzamento..
Sappiamo che il campo di spezzamento di un polinomio irriducibile di $Z_p[x]$ è l'estensione semplice di $Z_p$ con una delle radici del polinomio.
Se ho a che fare con un polinomio riducibile, quindi, mi basta scomporlo in fattori irriducibili e calcolare per ognuno di essi il campo di spezzamento..quindi se per esempio devo calcolare il campo di spezzamento E di
$x^3-x-1=(x-1)(x-1)(x+2) $ su $Z_3[x]$
per il primo e il secondo fattore il campo di spezzamento è $E_1=Z_3[1]$, per il secondo $E_2=Z_3[2]$..
ora devo capire se $2 $ $in$ $ E_1$ ?.. poiché $[E_1:Z_3]=1$, una base è {1}, posso scrivere $2=2*1, 2 $in$ Z_3$ e quindi dedurre $E=E_1 $?
voglio capire se è giusto questo ragionamento
vorrei dei chiarimenti sul concetto di campo di spezzamento..
Sappiamo che il campo di spezzamento di un polinomio irriducibile di $Z_p[x]$ è l'estensione semplice di $Z_p$ con una delle radici del polinomio.
Se ho a che fare con un polinomio riducibile, quindi, mi basta scomporlo in fattori irriducibili e calcolare per ognuno di essi il campo di spezzamento..quindi se per esempio devo calcolare il campo di spezzamento E di
$x^3-x-1=(x-1)(x-1)(x+2) $ su $Z_3[x]$
per il primo e il secondo fattore il campo di spezzamento è $E_1=Z_3[1]$, per il secondo $E_2=Z_3[2]$..
ora devo capire se $2 $ $in$ $ E_1$ ?.. poiché $[E_1:Z_3]=1$, una base è {1}, posso scrivere $2=2*1, 2 $in$ Z_3$ e quindi dedurre $E=E_1 $?
voglio capire se è giusto questo ragionamento
Risposte
Beh... ma se il polinomio ha già tutte le radici nel campo che consideri... non c'è niente da fare!
Non so a che anno sei, che corso segui, che esame devi preparare... ma comunque prova a calcolare il campo di spezzamento di [tex]X^2 + 1[/tex] su [tex]\mathbb Z_3[/tex]...
Non so a che anno sei, che corso segui, che esame devi preparare... ma comunque prova a calcolare il campo di spezzamento di [tex]X^2 + 1[/tex] su [tex]\mathbb Z_3[/tex]...
Quello era un preso da una traccia di esame..il prof a lezione ha fatto pochissimi esercizi, quindi ho un po' di dubbi..
$ X^2+1 $ è irriducibile..il campo di spezzamento potrebbe essere $Z_3$ ? non so se ha senso ciò che ho scritto
$ X^2+1 $ è irriducibile..il campo di spezzamento potrebbe essere $Z_3$ ? non so se ha senso ciò che ho scritto
In effetti, non ha senso perché probabilmente tu pensi [tex]i \in \mathbb C[/tex]. L'idea, però è giusta e io ti chiedo: denotata [tex]\alpha[/tex] la radice quadrata di -1 su [tex]\mathbb Z_3[/tex], come dimostri che [tex]\alpha[/tex] esiste sul serio e quindi possiamo parlarne? Mi spiego meglio: dovresti costruire questa fantomatica estensione utilizzando costruzioni a te note, in modo da far vedere che esiste concretamente. Sai farlo, ti è stato spiegato come fare? (è anni luce più semplice di quello che potrebbe sembrare a prima vista).
Comunque, se quella è una traccia d'esame, allora probabilmente stai preparando qualcosa come algebra 1... Hai capito perché non c'è nulla da fare? Devi aggiungere delle radici, ma le radici ci sono già, quindi stai aggiungendo cose che erano già presenti, quindi non stai facendo nulla!
Comunque, se quella è una traccia d'esame, allora probabilmente stai preparando qualcosa come algebra 1... Hai capito perché non c'è nulla da fare? Devi aggiungere delle radici, ma le radici ci sono già, quindi stai aggiungendo cose che erano già presenti, quindi non stai facendo nulla!
no, non so come fare 
..so per il teorema che ho riportato nel primo post che,denotata con $alpha$ la radice, $Z_3[alpha]$ è il campo di spezzamento..in realtà è algebra 2..avrò beccato una traccia un po' più stupida (gli es sui gruppi e sugli anelli compensano la difficoltà/banalità )
..so per il teorema che ho riportato nel primo post che,denotata con $alpha$ la radice, $Z_3[alpha]$ è il campo di spezzamento..in realtà è algebra 2..avrò beccato una traccia un po' più stupida (gli es sui gruppi e sugli anelli compensano la difficoltà/banalità )
Eh, ma a priori non sai se [tex]\alpha[/tex] esiste, a meno di ammettere il teorema di esistenza di una chiusura algebrica (che però sarebbe barare...)
Semplicemente, essendo [tex]X^2 + 1[/tex] irriducibile, [tex](X^2 + 1)[/tex] è massimale, quindi [tex]K := \mathbb Z_3[X]/(X^2 + 1)[/tex] è un campo e [tex]\mathbb Z_3 \subset \mathbb Z_3[X]/(X^2 + 1)[/tex] è un'estensione di campi. Ora, magia!, l'elemento [tex]\overline{X}[/tex] è una radice del polinomio [tex]X^2+1[/tex] pensato a coefficienti in [tex]K[/tex]...
Semplicemente, essendo [tex]X^2 + 1[/tex] irriducibile, [tex](X^2 + 1)[/tex] è massimale, quindi [tex]K := \mathbb Z_3[X]/(X^2 + 1)[/tex] è un campo e [tex]\mathbb Z_3 \subset \mathbb Z_3[X]/(X^2 + 1)[/tex] è un'estensione di campi. Ora, magia!, l'elemento [tex]\overline{X}[/tex] è una radice del polinomio [tex]X^2+1[/tex] pensato a coefficienti in [tex]K[/tex]...
se $\bar x$ è una radice, ho che $\bar x^2+1=0$..che significa a coefficienti in $K$?
se K è il campo $(Z_3[x])/(x^2+1)$ quindi è un campo di $9$ elementi..ed è costituito da $ { a*x+b+(x^2+1) t.c. a,b $$in$$Z_3}$
se K è il campo $(Z_3[x])/(x^2+1)$ quindi è un campo di $9$ elementi..ed è costituito da $ { a*x+b+(x^2+1) t.c. a,b $$in$$Z_3}$
Stai pensando [tex]\mathbb Z_3 \subset K = \mathbb Z_3[X] / (X^2 + 1)[/tex]. Vuoi sostituire la classe [tex]\overline{X} = X + (X^2 + 1)[/tex] nel polinomio [tex]X^2 + 1 \in \mathbb Z_3 [X] \subset K[X][/tex]. Ottieni [tex](X + (X^2 + 1))^2 + 1 = X^2 + 1 + (X^2 + 1) = (X^2 + 1) = 0 + (X^2 + 1)[/tex], quindi in [tex]K[/tex], [tex]X + (X^2 + 1)[/tex] è soluzione!
ok..in questo modo dimostri l'esistenza di $alpha $ ! quindi confermi che il campo di spezzamento è $E=Z_3[alpha]$ e risulta $[E:Z_3]=2$ ?
Confermo. Una volta che hai l'esistenza di [tex]\alpha[/tex], quello è vero.
Ne approfitto per richiedere come si determina un campo di spezzamento sempre su $Z_p$ meno scontato,forse, del precedente
$x^3+4$ $in$ $Z_5[x]$
Ho scomposto in $(x-1)(x^2+x+1)$
La radice del primo fattore, cioè $1$ è in $Z_3$..quindi non mi pongo problemi di estendere il campo
Per il secondo fattore , barando, so che esiste una radice $alpha$ ..quindi il campo di spezzamento è $Z_5[alpha]$ di grado 2
confermi?
intanto mille grazie per la pazienza e il tempo che mi hai dedicato!
$x^3+4$ $in$ $Z_5[x]$
Ho scomposto in $(x-1)(x^2+x+1)$
La radice del primo fattore, cioè $1$ è in $Z_3$..quindi non mi pongo problemi di estendere il campo
Per il secondo fattore , barando, so che esiste una radice $alpha$ ..quindi il campo di spezzamento è $Z_5[alpha]$ di grado 2
confermi?
intanto mille grazie per la pazienza e il tempo che mi hai dedicato!
Sì, ma non vedo il senso...
Cioè, è un teorema quello che dice che il campo di spezzamento esiste e si ottiene aggiungendo tutte le radici prese in un'opportuna estensione. Al massimo la domanda sensata potrebbe essere di determinare la struttura di quel campo. Ad esempio, prima hai risposto bene perché hai calcolato il grado del campo di spezzamento su [tex]\mathbb Z_3[/tex], osservando che quindi il campo di spezzamento ha 9 elementi. Visto che esiste un solo campo (a meno di isomorfismi) con 9 elementi, hai detto precisamente chi è. A priori non è detto che sia una cosa facile, però. Prova [tex]X^4 - 2[/tex] in [tex]\mathbb Z_5[X][/tex], ad esempio... (ti dico già che è irriducibile)
Cioè, è un teorema quello che dice che il campo di spezzamento esiste e si ottiene aggiungendo tutte le radici prese in un'opportuna estensione. Al massimo la domanda sensata potrebbe essere di determinare la struttura di quel campo. Ad esempio, prima hai risposto bene perché hai calcolato il grado del campo di spezzamento su [tex]\mathbb Z_3[/tex], osservando che quindi il campo di spezzamento ha 9 elementi. Visto che esiste un solo campo (a meno di isomorfismi) con 9 elementi, hai detto precisamente chi è. A priori non è detto che sia una cosa facile, però. Prova [tex]X^4 - 2[/tex] in [tex]\mathbb Z_5[X][/tex], ad esempio... (ti dico già che è irriducibile)
Stavo risolvendo come se fosse in $Q[x]$..ma ora non so..
Va bene, facciamolo pure su [tex]\mathbb Q[X][/tex], la difficoltà tanto è la stessa...
ok..qui mi viene in soccorso la teoria..
il campo di spezzamento in $Q[x]$ è $ E=Q[root(4)(2),i]$..e il grado è 8,tutte le radici sono $root(4)(2)*i^k $ con $ k=0,1,2,3$
è esatto?
come sarebbe stato in $Z_5[x]$?
il campo di spezzamento in $Q[x]$ è $ E=Q[root(4)(2),i]$..e il grado è 8,tutte le radici sono $root(4)(2)*i^k $ con $ k=0,1,2,3$
è esatto?
come sarebbe stato in $Z_5[x]$?
Beh, l'idea è la stessa... devi aggiungere una radice quarta primitiva dell'unità più una radice quarta di 2... E devi controllare che il polinomio non si spezzi prima. Ad esempio, aggiungi una radice quarta dell'unità, diciamo [tex]\alpha[/tex], e consideriamo [tex]\mathbb Z_5[\alpha][/tex]. Il polinomio [tex]X^4 - 2[/tex] si spezza in questo campo?
No, $X^4-2$ è irriducibile su$Z_5[alpha]$
e quindi devo aggiungere all'estensione $root(4)(2)$
e quindi devo aggiungere all'estensione $root(4)(2)$
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