Campo di spezzamento e polinomi ciclotomici
Salve, avrei due dubbi nella risoluzione di alcuni esercizi riguardanti i due argomenti in titolo
i) Iniziamo su quello sui polinomi ciclotomici (che a dir la verità non ho molto chiari, quindi è molto possibile che dica qualche cosaccia
)
Sia $p(x)=x^2+1 in Z11[x]$. Trovare il campo di spezzamento di tale polinomio.
Tale polinomio è irriducibile poiché non ha radici e dunque spezza in $ F11[x]/(p(x)) $ (campo isomorfo al campo di spezzamento, con 121 elementi).
Quindi trovare in nel campo di spezzamento l'inverso di $phi_12(a) in Z11[x]$, il dodicesimo polinomio ciclotomico e "a" radice di p(x).
Procedo col calcolo del polinomio. $phi_12(a)=prod (x-epsilon^i)$ con $(i,12)=1$ e $epsilon$ radice primitiva del campo delle unità.
Bene, per trovare tali radici allora a quanto ho capito bisogna risolvere $x^12-1=0$ e da queste prenderne una primitiva. Ho riflettuto però sul fatto che poiché x sta in Z11 allora avrà sicuramente periodo 11. Allora $x^12=x$
Da ciò dovrebbe seguire che la radice è solo ovviamente 1 e che dunque il polinomio ciclotomico si riduce a $phi_12(x)=x-1$
Da qui sostituisco a alla x e calcolo l'inverso col classico metodo delle divisioni successive.
È giusto? Non sono del tutto convinto, anzi, non lo sono per niente per cui gradirei un parere
ii) Passiamo alla seconda questione. Sia $p(x)=x^3-5$. Calcolarne il campo di spezzamento L prima su Z7[x] e su Z11[x] e scrivere una sua scomposizione in fattori lineari.
- Inizio col calcolarlo in Z7[x].
Tale polinomio è irriducibile poiché non ha radici. Ancora una volta ovviamente il campo $L~=F7[x]/(p(x))$.
Sia $alpha$ una radice di tale polinomio. Allora si ha $p(x)=(x-alpha)(x^2+alphax+alpha^2)$. Siamo in caratteristica diversa da due, quindi posso applicare la formula per le equazioni di secondo grado
$x_(1,2)= (-alpha+-sqrt(4alpha^2))/2=4(-alpha+-alphasqrt(4))=4(-alpha+-2alpha)$
Ho utilizzato come radice il 2, ma suppongo che con l'altra avrei ottenuto la stessa cosa. Da qui ottengo che
$x_1 =2alpha$ e $x_2 =4alpha$ e così ottengo la scomposizione lineare.
- Adesso si tratta di calcolarlo in Z11. Anche qui è irriducibile e via dicendo, ma andando per risolvere l'equazione di secondo grado il delta cambia. infatti trovo che $x_(1,2)= (-alpha+-sqrt(8alpha^2))/2$
Purtroppo però 8 non ha radici quadre in Z11. Sicuramente allora tale radice si trova nel campo di spezzamento, solo che non riesco a trovarla. Da qui mi viene il dubbio: sono sicuro che $L~=F11[x][alpha]$? Oppure è possibile che a tale campo devo aggiungere un altro elemento $beta$ tale che $beta^2=8$. Nel caso di prima la prima estensione bastava, ma è sempre così? E se non è così, la base dell'estensione diventa (1,a,b) anziché (1,a,a^2)?
i) Iniziamo su quello sui polinomi ciclotomici (che a dir la verità non ho molto chiari, quindi è molto possibile che dica qualche cosaccia
)Sia $p(x)=x^2+1 in Z11[x]$. Trovare il campo di spezzamento di tale polinomio.
Tale polinomio è irriducibile poiché non ha radici e dunque spezza in $ F11[x]/(p(x)) $ (campo isomorfo al campo di spezzamento, con 121 elementi).
Quindi trovare in nel campo di spezzamento l'inverso di $phi_12(a) in Z11[x]$, il dodicesimo polinomio ciclotomico e "a" radice di p(x).
Procedo col calcolo del polinomio. $phi_12(a)=prod (x-epsilon^i)$ con $(i,12)=1$ e $epsilon$ radice primitiva del campo delle unità.
Bene, per trovare tali radici allora a quanto ho capito bisogna risolvere $x^12-1=0$ e da queste prenderne una primitiva. Ho riflettuto però sul fatto che poiché x sta in Z11 allora avrà sicuramente periodo 11. Allora $x^12=x$
Da ciò dovrebbe seguire che la radice è solo ovviamente 1 e che dunque il polinomio ciclotomico si riduce a $phi_12(x)=x-1$
Da qui sostituisco a alla x e calcolo l'inverso col classico metodo delle divisioni successive.
È giusto? Non sono del tutto convinto, anzi, non lo sono per niente per cui gradirei un parere
ii) Passiamo alla seconda questione. Sia $p(x)=x^3-5$. Calcolarne il campo di spezzamento L prima su Z7[x] e su Z11[x] e scrivere una sua scomposizione in fattori lineari.
- Inizio col calcolarlo in Z7[x].
Tale polinomio è irriducibile poiché non ha radici. Ancora una volta ovviamente il campo $L~=F7[x]/(p(x))$.
Sia $alpha$ una radice di tale polinomio. Allora si ha $p(x)=(x-alpha)(x^2+alphax+alpha^2)$. Siamo in caratteristica diversa da due, quindi posso applicare la formula per le equazioni di secondo grado
$x_(1,2)= (-alpha+-sqrt(4alpha^2))/2=4(-alpha+-alphasqrt(4))=4(-alpha+-2alpha)$
Ho utilizzato come radice il 2, ma suppongo che con l'altra avrei ottenuto la stessa cosa. Da qui ottengo che
$x_1 =2alpha$ e $x_2 =4alpha$ e così ottengo la scomposizione lineare.
- Adesso si tratta di calcolarlo in Z11. Anche qui è irriducibile e via dicendo, ma andando per risolvere l'equazione di secondo grado il delta cambia. infatti trovo che $x_(1,2)= (-alpha+-sqrt(8alpha^2))/2$
Purtroppo però 8 non ha radici quadre in Z11. Sicuramente allora tale radice si trova nel campo di spezzamento, solo che non riesco a trovarla. Da qui mi viene il dubbio: sono sicuro che $L~=F11[x][alpha]$? Oppure è possibile che a tale campo devo aggiungere un altro elemento $beta$ tale che $beta^2=8$. Nel caso di prima la prima estensione bastava, ma è sempre così? E se non è così, la base dell'estensione diventa (1,a,b) anziché (1,a,a^2)?
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