Campo di spezzamento di $x^n-1$
Salve ragazzi!
Ho un problema con la seguente proposizione:
Con ordine moltiplicativo di $q$ modulo $n$ intendo questo: http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_order
Quello che ho provato è che tutte le radici di $x^n -1$ sono in $F_{q^t}$ in modo abbastanza semplice, ma non so come mostrare che $t$ è il più piccolo per cui deve accadere che il polinomio si spezza. Ho provato per assurdo, ma non riesco a trovalo. Mi date un hint?
Ho un problema con la seguente proposizione:
Sia $\mathbb{F}_q$ un campo finito di ordine $q$. Sia $n \in \mathbb{N}$ tale che $q$ ed $n$ siano comprimi e sia $t$ l'ordine moltiplicativo di $q$ modulo $n$. Il campo di spezzamento di $x^n -1$ è $F_{q^t}$.
Con ordine moltiplicativo di $q$ modulo $n$ intendo questo: http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_order
Quello che ho provato è che tutte le radici di $x^n -1$ sono in $F_{q^t}$ in modo abbastanza semplice, ma non so come mostrare che $t$ è il più piccolo per cui deve accadere che il polinomio si spezza. Ho provato per assurdo, ma non riesco a trovalo. Mi date un hint?
Risposte
Ricorda che $\mathbb{F}_{q^t}$ è il campo di spezzamento su $\mathbb{F}_q$ di $f=x^{q^t} - x$. Dal momento che l'ordine moltiplicativo di $q$ è proprio $t$ abbiamo che $t$ è il più piccolo intero tale che $n | q^t-1$. Supponiamo ci sia un intercampo $K$ tra $\mathbb{F}_q$ e $\mathbb{F}_{q^t}$ che è il campo di spezzamento. $K$ è un campo finito di caratteristica $q$, quindi il suo ordine è $q^m$ per qualche $m < t$ e tutti i suoi elementi sono radici di $x^{q^m} - x$. Se $f$ si spezza in $K$, hai che $x^n -1$ divide $x^{q^m} -x = x (x^{q^m -1} -1)$. Perciò avresti che $f$ divide $(x^{q^m -1} -1)$. Ma $n$ non può dividere $q^m -1$, da cui hai una contraddizione.
Se $f$ si spezza in $K$, hai che $x^n−1$ divide $x^{q^m}−x=x(x^{q^m−1}−1).$
Questo passaggio è dovuto al fatto che tutte le radici di $x^n-1$ sono particolari radici del secondo polinomio?
Se la memoria non m'inganna (e comunque puoi consultare il capitolo 3 o 4 di questi appunti del prof. Francesco Mazzocca, in fondo alla pagina); ti basterebbe studiare la funzione:
\[
\varphi:a\in\mathbb{F}_{q^t}\to a^n\in\mathbb{F}_{q^t}.
\]
Scusa la fretta!
\[
\varphi:a\in\mathbb{F}_{q^t}\to a^n\in\mathbb{F}_{q^t}.
\]
Scusa la fretta!
Grazie Armando, ho seguito il corso dell'esimio prof Mazzocca!
Per quanto riguarda la funzione ci penso un po'!
Per quanto riguarda la funzione ci penso un po'!
Ovviamente, Mrhaha alias Ferdinando, quella funzione (tra strutture algebriche) è interessante perché è un omomorfismo (esercizio): cosa interessa calcolare degli omomorfismi? Cosa afferma il teorema di omomorfismo di gruppi?
Quello che otteniamo, applicando il teorema dell'omomorfismo, è che $ F_{q^t}/ {Ker(\varphi)} $ è isomorfo a $Im(\varphi)$.
Il $Ker(\varphi)$ è l'insieme degli $a \in F_{q^t}$ tali che $a^n = 1$ se vediamo $F_{q^t}$ come gruppo moltiplicativo, ovvero le radici di $x^n -1$ su $F_{q^t}$.
$Im(\varphi)=\varphi(F_{q^t})$. Fino a qua è corretto?
Il $Ker(\varphi)$ è l'insieme degli $a \in F_{q^t}$ tali che $a^n = 1$ se vediamo $F_{q^t}$ come gruppo moltiplicativo, ovvero le radici di $x^n -1$ su $F_{q^t}$.
$Im(\varphi)=\varphi(F_{q^t})$. Fino a qua è corretto?
Sì tutto corretto! Poi come prosegui?
Mmm... Mi verrebbe da dire di ragionare con le dimensioni di questi sottospazi. Ma $dim(Ker(\varphi))$ è $t=ord_n(q)$, giusto? Vedendo il $Ker(\varphi)$ come spazio vettoriale su $F_q$.
Più che altro, ricordando la struttura di gruppo di \(\mathbb{F}_{q^t}^{*}\), mi domanderei chi sia \(\mathrm{Im}(\varphi)\)!
$F_{q^t}^*$ è un gruppo ciclico di ordine $q^t-1=n$. Se consideriamo un generatore $\alpha$ di questo gruppo, ogni elemento di $F_{q^t}^*$, è una sua potenza. Indicando con $\alpha^i$ un generico elemento si ha che $phi(\alpha^i)=(\alpha^i)^n=1$, e quindi l'immagine di $phi$ è l'insieme delle radici $n-$esime dell'unità con l'elemento nullo.
Che stupido che sono.
Che stupido che sono.
Quindi, come arrivi alla conclusione? 
Mi dispiace Armando, ma credimi non so cosa si possa fare ora. Ci sto pensando da ieri, ma proprio non so dove poter andare a parare... 
Riassunto:
[list=1]
[*:2e4ipg9c] hai due numeri naturali \(\displaystyle q\) ed \(\displaystyle n\) coprimi,[/*:m:2e4ipg9c]
[*:2e4ipg9c] indichi con \(\displaystyle t\) il più piccolo numero naturale tale che \(\displaystyle q^t\equiv1(\mathrm{mod}\,n)\),[/*:m:2e4ipg9c]
[*:2e4ipg9c] sei riuscito a dimostrare, dopo mio modesto suggerimento, che nel campo \(\displaystyle\mathbb{F}_{q^t}\) vi trovi le radici \(\displaystyle n\)-sime dell'unità di \(\displaystyle\mathbb{F}_q\);[/*:m:2e4ipg9c][/list:o:2e4ipg9c]
quindi il polinomio \(\displaystyle x^n-1\in\mathbb{F}_q[x]\) si spezza su \(\displaystyle\mathbb{F}_{q^t}\)!
Sai calcolarti l'ordine dell'estensione di \(\displaystyle\mathbb{F}_q\) mediante le radici \(\displaystyle n\)-sime dell'unità?
Dovresti concludere così!
[list=1]
[*:2e4ipg9c] hai due numeri naturali \(\displaystyle q\) ed \(\displaystyle n\) coprimi,[/*:m:2e4ipg9c]
[*:2e4ipg9c] indichi con \(\displaystyle t\) il più piccolo numero naturale tale che \(\displaystyle q^t\equiv1(\mathrm{mod}\,n)\),[/*:m:2e4ipg9c]
[*:2e4ipg9c] sei riuscito a dimostrare, dopo mio modesto suggerimento, che nel campo \(\displaystyle\mathbb{F}_{q^t}\) vi trovi le radici \(\displaystyle n\)-sime dell'unità di \(\displaystyle\mathbb{F}_q\);[/*:m:2e4ipg9c][/list:o:2e4ipg9c]
quindi il polinomio \(\displaystyle x^n-1\in\mathbb{F}_q[x]\) si spezza su \(\displaystyle\mathbb{F}_{q^t}\)!
Sai calcolarti l'ordine dell'estensione di \(\displaystyle\mathbb{F}_q\) mediante le radici \(\displaystyle n\)-sime dell'unità?
Dovresti concludere così!
Ah! Sì. L'ordine dovrebbe essere $t$ , giusto? 
A parte un piccolo errore che non inficia il ragionamento:
\[
q^t-1\neq n
\]
ad esempio:
\[
q=7,n=2\Rightarrow t=1,\,7^1-1=3\cdot2.
\]
Ho sbagliato suggerimento... forse vuoi affermare che il grado del campo di spezzamento \(\displaystyle\mathbb{K}\) di \(\displaystyle x^n-1\) su \(\displaystyle\mathbb{F}_q\) soddisfa la diseguaglianza:
\[
(\mathbb{K}:\mathbb{F}_q)\leq n!
\]
e da ciò dovresti concludere definitivamente...
Nota che a meno di isomorfismi \(\displaystyle\mathbb{K}\subseteq\mathbb{F}_{q^t}\) e che l'ordine di \(\displaystyle\mathbb{K}\) è una potenza di \(\displaystyle q\).
EDIT Forse non ce la fai...
Come sono i tuoi rapporti interpersonali coi gruppi di Galois? Fammi indovinare: inesistenti!
\[
q^t-1\neq n
\]
ad esempio:
\[
q=7,n=2\Rightarrow t=1,\,7^1-1=3\cdot2.
\]
Ho sbagliato suggerimento... forse vuoi affermare che il grado del campo di spezzamento \(\displaystyle\mathbb{K}\) di \(\displaystyle x^n-1\) su \(\displaystyle\mathbb{F}_q\) soddisfa la diseguaglianza:
\[
(\mathbb{K}:\mathbb{F}_q)\leq n!
\]
e da ciò dovresti concludere definitivamente...
Nota che a meno di isomorfismi \(\displaystyle\mathbb{K}\subseteq\mathbb{F}_{q^t}\) e che l'ordine di \(\displaystyle\mathbb{K}\) è una potenza di \(\displaystyle q\).
EDIT Forse non ce la fai...
Come sono i tuoi rapporti interpersonali coi gruppi di Galois? Fammi indovinare: inesistenti!
Quindi il campo di spezzamento $\mathbb{K}$ di $x^n-1$ è il più piccolo campo nel quale il polinomio si spezza, quindi come dici tu, poiché il polinomio si spezza in $F_{q^t}$, $\mathbb{K}$ deve essere contenuto in $F_{q^t}$. Poiché $\mathbb{K}$ è un campo finito, deve necessariamente essere della forma $F_{q^k}$. Quindi $(F_{q^k}:F_q) \leq n!$, ovvero $k \leq n!$.
Ora devo provare che $k$ non può essere minore di $t$. Giusto?
Ora devo provare che $k$ non può essere minore di $t$. Giusto?
Sì, è tutto correto!
Forse ho finalmente risolto;
riprendendo l'endomorfismo \(\displaystyle\varphi:a\in\mathbb{F}_{q^t}\to a^n\in\mathbb{F}_{q^t}\), ci siamo dimenticati di calcolare la cardinalità di \(\displaystyle\ker\varphi\); se non ci ho visto male: tra tutte le estensioni (algebriche) di \(\displaystyle\mathbb{F}_q\) mediante le radici \(\displaystyle n\)-sime della sua unità si ha che in \(\displaystyle\mathbb{F}_{q^t}\) ha la cardinalità minima.
Ti torna tutto?!
Forse ho finalmente risolto;
riprendendo l'endomorfismo \(\displaystyle\varphi:a\in\mathbb{F}_{q^t}\to a^n\in\mathbb{F}_{q^t}\), ci siamo dimenticati di calcolare la cardinalità di \(\displaystyle\ker\varphi\); se non ci ho visto male: tra tutte le estensioni (algebriche) di \(\displaystyle\mathbb{F}_q\) mediante le radici \(\displaystyle n\)-sime della sua unità si ha che in \(\displaystyle\mathbb{F}_{q^t}\) ha la cardinalità minima.
Ti torna tutto?!
Penso di aver capito. Quindi ragiono sulla cardinalità e non sulle dimensioni?
Sì, io in questo caso intravedo una soluzione ragionando sulle cardinalità e non sulle dimensioni come \(\displaystyle\mathbb{F}_q\)-spazi vettoriali.
Ci ho pensato su. $\mathbb{F}_{q^t}$ è il campo di spazzamento di $x^n -1$ perché ogni suo altro sottoinsieme non conterebbe tutte le radici $n-$esime dell'unità, basta considerare $\alpha^{q^t-1}$. E' sufficiente questo?
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