Campo di spezzamento di $x^27 - x$ su $\Z_3$
Buon Natale a tutti.
Sono alle prese col problema di determinare un campo di spezzamento del polinomio $x^27 - x$ su $\Z_3$. Qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille!
Rodolfo
Sono alle prese col problema di determinare un campo di spezzamento del polinomio $x^27 - x$ su $\Z_3$. Qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille!
Rodolfo
Risposte
Per il teorema di caratterizzazione dei campi finiti, il campo che cerchi è l'unico (a meno di isomorfismi) campo con $27$ elementi (solitamente indicato come \(\mathbb{F}_{27}\)). Dato che ha caratteristica $3$, puoi vederlo come estensione di \(\mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z}\) identificando quest'ultimo al sottocampo primitivo di \(\mathbb{F}_{27}\) con l'iniezione canonica. Si dimostra facilmente (consideralo un esercizio) che tutti gli elementi di \(\mathbb{F}_{27}\) sono radici di \(x^{27}-x\), che quindi ammette $27$ radici distinte e si spezza in \(\mathbb{F}_{27}\) (che sarà, a fortiori, il più piccolo campo in cui il polinomio in questione si spezza).
Ti ringrazio. Ma l'esercizio che sto cercando di risolvere vuole, credo, che $F$ sia costruito specificamente, credo quozientando opportunamente $\Z_3[x]$ rispetto a un certo ideale... Che è appunto ciò che non riesco a fare.
Va bene l'ideale generato da un qualsiasi polinomio irriducibile di grado $3$. Ad esempio, puoi quozientare rispetto a \((x^3 + 2x + 1)\).
Grazie per la fiducia, eh! 
Esercizio. (Lemma dell'Epimenide divertito) Sia \(\mathbf{A} = (A, +, \cdot)\) un anello e sia \(U(\mathbf{A})\) il suo gruppo (moltiplicativo) delle unità. Allora \(\forall a \in \mathbf{A}: \ a^{\lvert U(\mathbf{A}) \rvert} = 1\). (Dove con \(\lvert \ \cdot \ \rvert\) indico l'ordine di un gruppo).
Corollario. (Lemma dell'Epimenide annoiato) \(\mathbb{F}_3 [x] / (x^3 + 2x +1 ) \) è il campo di spezzamento di \(x^{27} - x\).
Esercizio. (Lemma dell'Epimenide divertito) Sia \(\mathbf{A} = (A, +, \cdot)\) un anello e sia \(U(\mathbf{A})\) il suo gruppo (moltiplicativo) delle unità. Allora \(\forall a \in \mathbf{A}: \ a^{\lvert U(\mathbf{A}) \rvert} = 1\). (Dove con \(\lvert \ \cdot \ \rvert\) indico l'ordine di un gruppo).
Corollario. (Lemma dell'Epimenide annoiato) \(\mathbb{F}_3 [x] / (x^3 + 2x +1 ) \) è il campo di spezzamento di \(x^{27} - x\).
Mi scuso... Grazie al tuo aiuto ho messo a fuoco cosa mi mancava: la scomposizione in fattori irriducibili di $x^27 - x \in \Z_3[x]$, e ho messo un nuovo topic su questo per meglio focalizzare l'attenzione. Ora rifletto anche sulla tua ultima risposta...
"Rodolfo Medina":
Mi scuso...
Non devi, io scherzo
Però sono serio quando ti dico che la soluzione è quella
su \(\mathbb{Z}/ 3 \mathbb{Z}\) puoi tirar fuori al massimo tre radici da quel polinomio, ti torna?
"Epimenide93":
[quote="Rodolfo Medina"]Mi scuso...
Non devi, io scherzo
...[/quote]Meno male!
Per determinare un campo di spezzamento di $x^27 - x$ su $\Z_3$ c'è bisogno prima di scomporre tale polinomio in fattori irriducibili, quindi vorrei rimandare al thread apposito su questo argomento per poi tornare qui con in mano la scomposizione completa del polinomio. Mi sembra di capire che $x^3 + 2 x + 1$ sarebbe un suo fattore irriducibile...
"Rodolfo Medina":
Per determinare un campo di spezzamento di $x^27 - x$ su $\Z_3$ c'è bisogno prima di scomporre tale polinomio in fattori irriducibili, quindi vorrei rimandare al thread apposito su questo argomento per poi tornare qui con in mano la scomposizione completa del polinomio. Mi sembra di capire che $x^3 + 2 x + 1$ sarebbe un suo fattore irriducibile...
Risulta esserlo, ma non serve scomporre $x^27 - x$ per trovarlo, né... per trovare gli altri fattori
Nell'altro thread abbiamo cercato senza riuscirvi di scmporre il polinomio in fattori irriducibili. Quindi mi arrendo. Qual è la soluzione? Grazie.
Dalla teoria dei campi segue che condizione necessaria (in realtà anche sufficiente, ma la necessità è un fatto elementare) perché un campo sia finito è che abbia ordine \(p^n\) con \(p\) primo e \(n \in \mathbb{N}_{\geq 0}\) (perché?).
Dal Lemma dell'Epimenide divertito (del quale attendo una dimostrazione) segue che, se \(k\) è un campo finito con \(p^n\) elementi, indicando con \(k^* \stackrel{\text{def}}{=}k \setminus \{0_k\}\) il suo gruppo delle unità, \[\forall a \in k^* : a^{\lvert k^* \rvert} = 1_k\]ma \(\lvert k^* \rvert = p^n -1\), ovvero \[\forall a \in k^* : a^{p^n -1} = 1_k \Rightarrow a^{p^n} = a\]ricordando che \(0_k^{p^n} = 0_k\) si ha che se \(k\) è un campo con \(n\) elementi, tutti i suoi elementi sono radici del polinomio \(x^n - x\), quindi un qualsiasi campo con \(27\) elementi è campo di spezzamento di \(x^{27} - x\) (ed è unico a meno di isomorfismi, in virtù di un noto teorema sui campi di spezzamento).
Sempre dalla teoria dei campi segue che se \(q\) è un polinomio irriducibile su \(k\), allora \(k [x] / (q)\) è un campo, ed è un'estensione di \(k\) di ordine \(\text{deg} (q)\). Allora, si ha che per \(\mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z} = \mathbb{F}_3\) (campo con \(3\) elementi) \(\mathbb{F}_ {27} = \mathbb{F}_3 [x] / (q)\) dove \(q\) è un qualsiasi polinomio di grado \(3\) irriducibile su \(\mathbb{F}_3\) (perché?).
Alla luce di questo, dovresti ora anche essere in grado di scomporre \(x^{27} - x\) in fattori irriducibili su \(\mathbb{F}_3\). Considera anche questo (assieme a tutti i "(perché?)") un esercizio
Se dovessi avere dubbi sulle dimostrazioni chiedi pure, se sono in grado sarò ben lieto di rispondere
Dal Lemma dell'Epimenide divertito (del quale attendo una dimostrazione) segue che, se \(k\) è un campo finito con \(p^n\) elementi, indicando con \(k^* \stackrel{\text{def}}{=}k \setminus \{0_k\}\) il suo gruppo delle unità, \[\forall a \in k^* : a^{\lvert k^* \rvert} = 1_k\]ma \(\lvert k^* \rvert = p^n -1\), ovvero \[\forall a \in k^* : a^{p^n -1} = 1_k \Rightarrow a^{p^n} = a\]ricordando che \(0_k^{p^n} = 0_k\) si ha che se \(k\) è un campo con \(n\) elementi, tutti i suoi elementi sono radici del polinomio \(x^n - x\), quindi un qualsiasi campo con \(27\) elementi è campo di spezzamento di \(x^{27} - x\) (ed è unico a meno di isomorfismi, in virtù di un noto teorema sui campi di spezzamento).
Sempre dalla teoria dei campi segue che se \(q\) è un polinomio irriducibile su \(k\), allora \(k [x] / (q)\) è un campo, ed è un'estensione di \(k\) di ordine \(\text{deg} (q)\). Allora, si ha che per \(\mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z} = \mathbb{F}_3\) (campo con \(3\) elementi) \(\mathbb{F}_ {27} = \mathbb{F}_3 [x] / (q)\) dove \(q\) è un qualsiasi polinomio di grado \(3\) irriducibile su \(\mathbb{F}_3\) (perché?).
Alla luce di questo, dovresti ora anche essere in grado di scomporre \(x^{27} - x\) in fattori irriducibili su \(\mathbb{F}_3\). Considera anche questo (assieme a tutti i "(perché?)") un esercizio
Se dovessi avere dubbi sulle dimostrazioni chiedi pure, se sono in grado sarò ben lieto di rispondere
Grazie mille!, mi è davvero di aiuto... 
ci studio un po' su
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