Campo di spezzamento
salve a tutti. ho questo esercizio e non riesco ad impostarlo..ho vari enigma..ecco il testo:
Sia $f(X)=X^(4)-2X^(3)-13X^(2)-2X+1$
1)mostare che $f(X)$ è riducibile in $QQ[X]$ ma non ha radici in $QQ$.
2)determinare un campo di spezzamento $F$ di $f(X)$ su $QQ$ e descrivere i campi compresi tra $QQ$ e $F$.
3)sia $A=QQ[X^(2)]subQQ[X]$.Provare che A è un dominio e scrivere 2 elementi.Stusiare A a meno di isomorfismi.
il punto 1) come scompongo il polinomio???? e come fa a avere radici in Q[X] e non in Q???
il punto 2) come faccio il campo di spezzamento su F e Q e cosa sono i campi compresi??
Sia $f(X)=X^(4)-2X^(3)-13X^(2)-2X+1$
1)mostare che $f(X)$ è riducibile in $QQ[X]$ ma non ha radici in $QQ$.
2)determinare un campo di spezzamento $F$ di $f(X)$ su $QQ$ e descrivere i campi compresi tra $QQ$ e $F$.
3)sia $A=QQ[X^(2)]subQQ[X]$.Provare che A è un dominio e scrivere 2 elementi.Stusiare A a meno di isomorfismi.
il punto 1) come scompongo il polinomio???? e come fa a avere radici in Q[X] e non in Q???
il punto 2) come faccio il campo di spezzamento su F e Q e cosa sono i campi compresi??
Risposte
Essere riducibile implica che ci sono polinomi che lo dividono, avere radici in [tex]\mathbb Q[/tex] implica che quei polinomi che lo dividono hanno grado [tex]1[/tex].
Il campo di spezzamento è il campo entro il quale il polinomio si spezza in solo polinomi di primo grado, per esempio [tex]x^2+1[/tex] non si spezza in [tex]\mathbb Q[x][/tex] ma si spezza in [tex]\mathbb Q(i)[x][/tex], senza campi intermedi.
Qui probabilmente troverai da aggiungere due radici e quindi il campo [tex]\mathbb F=\mathbb Q(\alpha,\beta)[/tex] ed i campi intermedi saranno [tex]\mathbb Q(\alpha)[/tex] e [tex]\mathbb Q(\beta)[/tex] .
Il campo di spezzamento è il campo entro il quale il polinomio si spezza in solo polinomi di primo grado, per esempio [tex]x^2+1[/tex] non si spezza in [tex]\mathbb Q[x][/tex] ma si spezza in [tex]\mathbb Q(i)[x][/tex], senza campi intermedi.
Qui probabilmente troverai da aggiungere due radici e quindi il campo [tex]\mathbb F=\mathbb Q(\alpha,\beta)[/tex] ed i campi intermedi saranno [tex]\mathbb Q(\alpha)[/tex] e [tex]\mathbb Q(\beta)[/tex] .
come sviluppo il punto 1??
nn so iniziare:-(
nn so iniziare:-(
Il criterio di Eisenstein te lo risolve (il punto 1)!
Esatto!
io nn riesco ad utilizzarlo .. me lo puoi spiegare?
Non esistendo un numero primo che divida 1... per il criterio di Eisenstein tale polinomio è riducibile su [tex]\mathbb{Q}[/tex].
"j18eos":No, il criterio di Eisenstein dà solo una condizione sufficiente per l'irriducibilità. Se non esistono primi che soddisfano il criterio non si può dedurre niente sulla riducibilità.
Non esistendo un numero primo che divida 1... per il criterio di Eisenstein tale polinomio è riducibile su [tex]\mathbb{Q}[/tex].
Prova a scrivere [tex]x^4-2x^3-13x^2-2x+1=(a_1x^2+b_1x+c_1)\cdot(a_2x^2+b_2x+c_2)[/tex], fai il prodotto di questi 2 polinomi di II grado, eguagli i coefficienti di medesimo grado e metti tutto a sistema e lo risolvi.
Ad esempio: [tex]x^4-2x^3-13x^2-2x+1=a_1a_2x^4+\hdots\Rightarrow a_1a_2=1[/tex]
Ad esempio: [tex]x^4-2x^3-13x^2-2x+1=a_1a_2x^4+\hdots\Rightarrow a_1a_2=1[/tex]
Mediante il criterio di Eisenstein vedi che il polinomio è irriducibile, allora poi prosegui considerando che ci siano due polinomi irriducibili di secondo grado, allora:
[tex]x^4-2x^3-13x^2-2x+1=(x^2+\alpha_1x+\beta_1)(x^2+\alpha_2x+\beta_2)=x^4+(\alpha_1+\alpha_2)x^2+(\alpha_1\alpha_2+\beta_1+\beta_2)x^2+(\alpha_1\beta_2+\alpha_2\beta_1)+\beta_1\beta_2[/tex]
Da questo costruisco un sistema:
${(\alpha_1+\alpha_2=-2),(\alpha_1\alpha_2+\beta_1+\beta_2=-13),(\alpha_1\beta_2+\alpha_2\beta_1=-2),(\beta_1\beta_2=1):}$
Allora con pazienza dalla quarta equazione [tex]\beta_1\beta_2=1 \Rightarrow \beta_1=1/\beta_2[/tex], dalla prima invece [tex]\alpha_1+\alpha_2=-2 \Rightarrow \alpha_1=-2-\alpha_2[/tex] ed entrambe nella terza:
[tex](-2-\alpha_2)\beta_2+\frac{\alpha_2}{\beta_2}=-2[/tex]
[tex](-2-\alpha_2)\beta_2^2+\alpha_2=-2\beta_2[/tex]
qui ci si perde un poco in conti e si giunge alle due soluzioni [tex]\beta_{2,1}=1, \beta_{2,2}=-\frac{\alpha_2}{\alpha_2+2}[/tex], consideriamo la prima (e più semplice):
[tex]\beta_2=1 \Rightarrow \beta_1=1[/tex]
da qui ci riduciamo a:
${(\alpha_1+\alpha_2=-2),(\alpha_1\alpha_2=-11):}$
che porta a [tex]\alpha_1=-1-2\sqrt{3}, \alpha_2=-1+2\sqrt{3}[/tex]. Continua...
[tex]x^4-2x^3-13x^2-2x+1=(x^2+\alpha_1x+\beta_1)(x^2+\alpha_2x+\beta_2)=x^4+(\alpha_1+\alpha_2)x^2+(\alpha_1\alpha_2+\beta_1+\beta_2)x^2+(\alpha_1\beta_2+\alpha_2\beta_1)+\beta_1\beta_2[/tex]
Da questo costruisco un sistema:
${(\alpha_1+\alpha_2=-2),(\alpha_1\alpha_2+\beta_1+\beta_2=-13),(\alpha_1\beta_2+\alpha_2\beta_1=-2),(\beta_1\beta_2=1):}$
Allora con pazienza dalla quarta equazione [tex]\beta_1\beta_2=1 \Rightarrow \beta_1=1/\beta_2[/tex], dalla prima invece [tex]\alpha_1+\alpha_2=-2 \Rightarrow \alpha_1=-2-\alpha_2[/tex] ed entrambe nella terza:
[tex](-2-\alpha_2)\beta_2+\frac{\alpha_2}{\beta_2}=-2[/tex]
[tex](-2-\alpha_2)\beta_2^2+\alpha_2=-2\beta_2[/tex]
qui ci si perde un poco in conti e si giunge alle due soluzioni [tex]\beta_{2,1}=1, \beta_{2,2}=-\frac{\alpha_2}{\alpha_2+2}[/tex], consideriamo la prima (e più semplice):
[tex]\beta_2=1 \Rightarrow \beta_1=1[/tex]
da qui ci riduciamo a:
${(\alpha_1+\alpha_2=-2),(\alpha_1\alpha_2=-11):}$
che porta a [tex]\alpha_1=-1-2\sqrt{3}, \alpha_2=-1+2\sqrt{3}[/tex]. Continua...
"j18eos":
Prova a scrivere [tex]x^4-2x^3-13x^2-2x+1=(a_1x^2+b_1x+c_1)\cdot(a_2x^2+b_2x+c_2)[/tex], fai il prodotto di questi 2 polinomi di II grado, eguagli i coefficienti di medesimo grado e metti tutto a sistema e lo risolvi.
Ad esempio: [tex]x^4-2x^3-13x^2-2x+1=a_1a_2x^4+\hdots\Rightarrow a_1a_2=1[/tex]
mi esce un sistema impossibile
"marygrazy":
[quote="j18eos"]Prova a scrivere [tex]x^4-2x^3-13x^2-2x+1=(a_1x^2+b_1x+c_1)\cdot(a_2x^2+b_2x+c_2)[/tex], fai il prodotto di questi 2 polinomi di II grado, eguagli i coefficienti di medesimo grado e metti tutto a sistema e lo risolvi.
Ad esempio: [tex]x^4-2x^3-13x^2-2x+1=a_1a_2x^4+\hdots\Rightarrow a_1a_2=1[/tex]
mi esce un sistema impossibile[/quote]
Se vedi nel mio post c'è la soluzione semplice del problema
marygrazy guarda che Lord K ti ha dato un metodo più rapido; per quanto riguarda il mio post, senza ledere generalià, si può porre [tex]a_1=a_2=1[/tex] e ti ritrovi quello che ha scritto Lord K.
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