Campo delle funzioni razionali
Arisalve,
sono nuova del forum, perdonate quindi se ancora non riesco a prendere confidenza con i mecanismi.
Ho difficoltà con la seguente questione di geometria algebrica:
Non riesco a capire perchè un morfismo razionale di varetà affini $\varphi :X\rightarrow Y$ non si possa estendere ad un omomorfismo di campi $\bar{\varphi} : K(Y)\rightarrow K(X)$ dove K(X) e K(Y) indicano rispettivamente i campi delle funzoni razionali di X e Y.
Se $\varphi$ è dominante allora si può fare ma in generale no! Perchè?
Non so se qualcuno riesca a capire di cosa parlo.
Ho scritto le formule come si scrivono in latex quindi non so cosa apparirà, in caso per favore abbiate pietà, è la prima volta che scrivo sul forum
sono nuova del forum, perdonate quindi se ancora non riesco a prendere confidenza con i mecanismi.
Ho difficoltà con la seguente questione di geometria algebrica:
Non riesco a capire perchè un morfismo razionale di varetà affini $\varphi :X\rightarrow Y$ non si possa estendere ad un omomorfismo di campi $\bar{\varphi} : K(Y)\rightarrow K(X)$ dove K(X) e K(Y) indicano rispettivamente i campi delle funzoni razionali di X e Y.
Se $\varphi$ è dominante allora si può fare ma in generale no! Perchè?
Non so se qualcuno riesca a capire di cosa parlo.
Ho scritto le formule come si scrivono in latex quindi non so cosa apparirà, in caso per favore abbiate pietà, è la prima volta che scrivo sul forum
Risposte
Se consideri in [tex]\mathbb{A}_{\mathbb{C}}^1[/tex] l'inclusione [tex]\{0\} = Z(x) \to Z(0) = \mathbb{C}[/tex], l'omomorfismo di anelli corrispondente e' la valutazione in zero [tex]\mathbb{C}[X] \to \mathbb{C}[/tex], che non si estende a [tex]\mathbb{C}(X) \to \mathbb{C}[/tex] (0 e x vanno in 0). Ho interpretato bene?
Sinceramente nn saprei se hai centrato ciò che vorrei sapere! 
la questione è questa: se considero un morfismo di varietà affini, questo induce un omomorfismo di k algebre, dove le k algebre sono gli anelli delle coordinate delle varietà cioè
$\varphi : X\rightarrow Y$ morf di varietà affini induce $\bar{\varphi} : \Gamma (X)\rightarrow \Gamma(Y)$ omomorf di anelli delle coordinate di X e Y (che sono isomorfi a k algebre fin gennerate e che puoi rivedere come anelli di funzioni polinomiali). $\bar{\varphi}$ agisce così: ad una fun polinomiale g associa $\bar{\varphi} (g)= g\circ \varphi$
Voglio quindi vedere se considerando un morfismo razionale di varietà succede una cosa analoga cioèse esso induce un omomorfismo di campi delle funz azionali di X e Y.
La risposta è no a meno che il morfismo nn sia dominante! PERCHE'?
Se c'è qualche definizone che non ricordi dimmelo e te lo chiarisco, non specifico qui per non incasinare lecose!
per il resto sperodi essere stata chiara
la questione è questa: se considero un morfismo di varietà affini, questo induce un omomorfismo di k algebre, dove le k algebre sono gli anelli delle coordinate delle varietà cioè
$\varphi : X\rightarrow Y$ morf di varietà affini induce $\bar{\varphi} : \Gamma (X)\rightarrow \Gamma(Y)$ omomorf di anelli delle coordinate di X e Y (che sono isomorfi a k algebre fin gennerate e che puoi rivedere come anelli di funzioni polinomiali). $\bar{\varphi}$ agisce così: ad una fun polinomiale g associa $\bar{\varphi} (g)= g\circ \varphi$
Voglio quindi vedere se considerando un morfismo razionale di varietà succede una cosa analoga cioèse esso induce un omomorfismo di campi delle funz azionali di X e Y.
La risposta è no a meno che il morfismo nn sia dominante! PERCHE'?
Se c'è qualche definizone che non ricordi dimmelo e te lo chiarisco, non specifico qui per non incasinare lecose!
per il resto sperodi essere stata chiara
"sabryeluca":Credo che sia [tex]\Gamma(Y) \to \Gamma(X)[/tex] piuttosto, no?
$\varphi : X\rightarrow Y$ morf di varietà affini induce $\bar{\varphi} : \Gamma (X)\rightarrow \Gamma(Y)$ omomorf di anelli delle coordinate
Credo di aver capito. Cosa c'e' che non va nell'esempio che ho fatto sopra?
Si, hai ragione $\bar{\varphi} : \Gamma (Y)\rightarrow \Gamma (X)$ Pardon 
L'esempio va bene solo che il mio prof da una spiegazione mettendo in ballo i denominatori e dicendo che per avere un omomorfismo di campi di funz razionali dovrebbero annullarsi i denominaori.....
pazzo lui o pazza io? dice che al massimo possiamo definire
$\bar{\varphi} : \Gamma (Y) \rightarrow K(X)$ e non $\bar{\varphi} : K(Y) \rightarrow K(X)$ a meno che nn sia dominante il morfismo di partenza
L'esempio va bene solo che il mio prof da una spiegazione mettendo in ballo i denominatori e dicendo che per avere un omomorfismo di campi di funz razionali dovrebbero annullarsi i denominaori.....
pazzo lui o pazza io? dice che al massimo possiamo definire$\bar{\varphi} : \Gamma (Y) \rightarrow K(X)$ e non $\bar{\varphi} : K(Y) \rightarrow K(X)$ a meno che nn sia dominante il morfismo di partenza
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