Campo dei numeri iperreali

[mdoni]

Salve a tutti,
sto affrontando per la prima volta lo studio del campo dei numeri iperreali, e mi trovo in mezzo a non pochi problemi. Spero che qualcheduno sappia (e voglia) gentilmente aiutarmi.
Dunque, da quanto ho appreso (e vi prego di correggermi se sbagliassi) un campo dei numeri iperreali si può ottenere come estensione non-archimedea del campo dei numeri reali. Si tratta di introdurre, nella logica del prim'ordine, il linguaggio (del prim'ordine) dei campi \( L = (+,-,*, 0,1) \) e quindi di estenderlo con un simbolo di costante \( c \) che non compaia in \( L \). Quindi, si tratta di estendere la teoria di \( \mathbb{R} \) (ossia l'insieme degli enunciati del prim'ordine che sono veri in \( \mathbb{R} \) ) considerando tutte le formule del tipo \( n < c \) per ogni \(n \) naturale. A questo punto si può vedere, per il teorema di compattezza, che questo insieme esteso di formule (che chiamo \( \Gamma \) ) ammette un modello \( \mathbb{M} \) (sicuramente infinito) --- che è dunque anche modello di \(Th(R) \) ----. A questo punto mi sorge il primo dubbio: è tale \( \mathbb{M} \) che diciamo campo dei numeri iperreali? o si tratta piuttosto di utilizzare il Teorema di Lowenheim-Skolem, per concludere che l'insieme esteso \( \Gamma \) ammette un modello per ogni cardinale infinito? Sono dunque questi modelli così costruiti che rappresentano quelli che noi diciamo campi iperreali? In questo caso, mi sembra, dovremmo avere tanti campi di numeri iperreali quanti sono i cardinali infiniti. Dunque dovrei pensare che non ci sia il sistema dei numeri iperreali, ma ce ne siano molti di più (uno per ogni cardinalità infinita). Scusate la probabile ingenuità della domanda, ma non ne vengo a capo.
Seconda domanda (altrettanto ingenua): qual che sia la risposta al primo dubbio, mi sembra che introducendo un unico nuovo simbolo di costante (che è \( c \) si possa introdurre unicamente un infinito nella struttura. E gli infinitesimi? Non dovremmo aspettarci un numero di infiniti e di infinitesimi pari al numero dei reali? Allora dovremmo forse introdurre nel linguaggio tante nuove costanti quanti sono i numeri reali? Da quanto leggo da alcune fonti, il sistema dei numeri reali è tale per cui la struttura del campo contenga tutto \( \mathbb{R} \) ed in più ha altri oggetti (tra cui appunto gli infinitesimi). Ma appunto, come costruirlo? E quale cardinalità avrà la struttura di questo campo?

Scusate le mille domande, ma (come potrete evincere) ho ancora molti dubbi da sgretolare!
Grazie a tutti

Marco

[mdoni]

nessuno sarebbe così gentile da darmi qualche delucidazione?