Campo
$F := {a + b sqrt 2 : a, b in QQ }$
dimostrare che $ F $ con tali operazioni
$(a + b sqrt 2)+(c + d sqrt 2) = a+ c + (b + d) sqrt 2$
$(a + b sqrt 2) (c + d sqrt 2) = ac + 2 bd + (ad + bc) sqrt 2$
è un campo.
Cosa devo dimostrare ?
Che tali operazioni godano delle propietà S 1-4 e P 1-5 ?
Che cos'è un campo ?
dimostrare che $ F $ con tali operazioni
$(a + b sqrt 2)+(c + d sqrt 2) = a+ c + (b + d) sqrt 2$
$(a + b sqrt 2) (c + d sqrt 2) = ac + 2 bd + (ad + bc) sqrt 2$
è un campo.
Cosa devo dimostrare ?
Che tali operazioni godano delle propietà S 1-4 e P 1-5 ?
Che cos'è un campo ?
Risposte
"DR1":
Che cos'è un campo ?
non mi sembra un approccio molto intelligente cercare di risolvere gli esercizi senza conoscere un minimo di teoria
Dovrebbe essere un insieme in cui sono definite le operazioni di somma e prodotto , con le relative proprietà , ma non ne sono sicuro (per questo chiedevo ) .
In particolare , se si definiscono le operazioni di somma e prodotto , allora godono delle (loro) proprietà o bisogna dimostrarlo ?
In poche parole , un insieme in cui si definiscono le suddette operazioni , è sempre un campo o va dimostrato ?
Se va dimostrato , come ?
In particolare , se si definiscono le operazioni di somma e prodotto , allora godono delle (loro) proprietà o bisogna dimostrarlo ?
In poche parole , un insieme in cui si definiscono le suddette operazioni , è sempre un campo o va dimostrato ?
Se va dimostrato , come ?
Ciao DR1 
Nel dubbio basta cercare e trovi questa spiegazione (ad esempio).
Devi infatti dimostrare che le proprietà elencate valgono per gli elementi specificati nella consegna qualora vengano applicate le operazioni $+$ e $*$ in base a come sono definite (sempre nel testo dell'esercizio).
Nel dubbio basta cercare e trovi questa spiegazione (ad esempio).
Devi infatti dimostrare che le proprietà elencate valgono per gli elementi specificati nella consegna qualora vengano applicate le operazioni $+$ e $*$ in base a come sono definite (sempre nel testo dell'esercizio).
Per dimostrare le proprieta , devo porre dei valori per gli elementi (es a = 5/2 , b = 3/4 , ecc..) o devo procedere con valori generici ?
es:
somma ;
proprieta commutativa ;
$ a+ c + (b + d) sqrt 2 = (b + d) sqrt 2 +a + c $
basta o devo sostituire ?
cosi
$ a = 1/2$
$b = 1/5$
$c = 1/3 $
$d = 1/7 $
$1/2 + 1/3 + ( 1/5 + 1/7 ) sqrt 2 = (1/5 + 1/7) sqrt 2 +1/2 + 1/3 $
$ 5/6 + 12/35 sqrt 2 = 12/35 sqrt 2 5/6 $
$ (25 + 12 sqrt 2)/35 = (12 sqrt 2 + 25)/35$
qual'è il modo corretto ?
es:
somma ;
proprieta commutativa ;
$ a+ c + (b + d) sqrt 2 = (b + d) sqrt 2 +a + c $
basta o devo sostituire ?
cosi
$ a = 1/2$
$b = 1/5$
$c = 1/3 $
$d = 1/7 $
$1/2 + 1/3 + ( 1/5 + 1/7 ) sqrt 2 = (1/5 + 1/7) sqrt 2 +1/2 + 1/3 $
$ 5/6 + 12/35 sqrt 2 = 12/35 sqrt 2 5/6 $
$ (25 + 12 sqrt 2)/35 = (12 sqrt 2 + 25)/35$
qual'è il modo corretto ?
No, la dimostrazione deve essere generica altrimenti non vale per tutti gli elementi dell'insieme sostegno (quello su cui è stato costruito il campo).
In
tieni conti che la $+$ esterna alle parentesi è l'operazione del nostro campo $F$ e quella invece interna è l'operazione $+$ in $\mathbb{Q}$ usuale. Lo stesso dicasi per il prodotto. In effetti le operazioni sarebbe meglio denotarle in maniera diversa in base alla struttura algebrica in cui ci si trova per evitare inutile confusione (se obietti questo hai sicuramente ragione).
Ora si tratta di verificare le varie proprietà che trovi nel link che ti ho postato in precedenza. Vedendo come sono definite le operazioni $+$ e $*$ in questo campo prendi due (o tre a seconda delle operazioni) elementi dello stesso ed esegui la verifica. Provo ad iniziare io giusto per darti l'idea e poi procedi te.
Verifichiamo che $(F, +)$ è un gruppo abeliano (o commutativo che dir si voglia) con elemento neutro $0$, ossia $\forall x, y, z \in F$ si ha:
In
"DR1":
[...]
$(a + b sqrt 2)+(c + d sqrt 2) = a+ c + (b + d) sqrt 2$
$(a + b sqrt 2) (c + d sqrt 2) = ac + 2 bd + (ad + bc) sqrt 2$
[...]
tieni conti che la $+$ esterna alle parentesi è l'operazione del nostro campo $F$ e quella invece interna è l'operazione $+$ in $\mathbb{Q}$ usuale. Lo stesso dicasi per il prodotto. In effetti le operazioni sarebbe meglio denotarle in maniera diversa in base alla struttura algebrica in cui ci si trova per evitare inutile confusione (se obietti questo hai sicuramente ragione).
Ora si tratta di verificare le varie proprietà che trovi nel link che ti ho postato in precedenza. Vedendo come sono definite le operazioni $+$ e $*$ in questo campo prendi due (o tre a seconda delle operazioni) elementi dello stesso ed esegui la verifica. Provo ad iniziare io giusto per darti l'idea e poi procedi te.
Verifichiamo che $(F, +)$ è un gruppo abeliano (o commutativo che dir si voglia) con elemento neutro $0$, ossia $\forall x, y, z \in F$ si ha:
[*:eai6zt37] Proprietà associativa: $(x + y) + z = x + (y + z)$;
Prendiamo $x = a + b \sqrt 2, y = c + d \sqrt 2$ e $z = e + f \sqrt 2$. Ora sostituiamo tali valori al primo membro dell'uguaglianza e vediamo cosa otteniamo.
\[
((a + b \sqrt 2) + (c + d \sqrt 2)) + (e + f \sqrt 2) =
((a + c) + (b + d)\sqrt 2) + (e + f \sqrt 2) =
(a + c + e) + (b + d + f) \sqrt 2
\]
Ora sostituiamo tali valori al secondo membro dell'uguaglianza e vediamo cosa otteniamo.
\[
(a + b \sqrt 2) + ((c + d \sqrt 2) + (e + f \sqrt 2)) =
(a + b \sqrt 2) + ((c + e) + (d + f) \sqrt 2) =
(a + c + e) + (b + d + f) \sqrt 2
\]
Come vedi poiché il risultato è lo stesso tale proprietà è verificata. Si procede in maniera analoga anche per le altre proprietà di $+$ e $*$ (infatti non è ancora completa la verifica delle proprietà di $(F, +)$ gruppo abeliano).[/*:m:eai6zt37][/list:u:eai6zt37]
Fammi sapere se così ti è più chiaro o meno.
Grazie , onlyReferee
MI trovo a dovere dimostrare l'esistenza dell'elemento neutro della somma ;
$0 in F$ ?
Dato che $F sube QQ$
e $QQ := { p/q : p , q in ZZ , q != 0 }$
$p/q = 0 iff p = 0 $ , giusto ?
$ 0 in F$ ?
${a + b sqrt 2 : a, b in QQ }$
Dato che $a, b in QQ$ e $0 in QQ$
$0+0 sqrt 2 = 0 ? $
$0 + 0 = 0$ quindi $ 0 in F$ e
$ (a+b sqrt 2 )+ 0 = 0 $
Giusto ?
E' corretto questo tipo di ragionamento o era meglio procedere diversamente ?
MI trovo a dovere dimostrare l'esistenza dell'elemento neutro della somma ;
$0 in F$ ?
Dato che $F sube QQ$
e $QQ := { p/q : p , q in ZZ , q != 0 }$
$p/q = 0 iff p = 0 $ , giusto ?
$ 0 in F$ ?
${a + b sqrt 2 : a, b in QQ }$
Dato che $a, b in QQ$ e $0 in QQ$
$0+0 sqrt 2 = 0 ? $
$0 + 0 = 0$ quindi $ 0 in F$ e
$ (a+b sqrt 2 )+ 0 = 0 $
Giusto ?
E' corretto questo tipo di ragionamento o era meglio procedere diversamente ?
No, è molto più semplice il ragionamento (secondo me). Basta che pensi (intuitivamente) a qual è l'unico elemento (che chiamo per semplicità $e$) di $F$ tale per cui $x + e = x (x, e \in F)$. in questo caso l'elemento neutro di $(F, +)$ non sarà $0$ ma $0 + 0 \sqrt 2$. Difatti possiamo provare a sommare $e$ ad un qualsiasi elemento di $F$. Si ottiene che $\forall x \in F (x = a + b \sqrt 2)$:
\[
(a + b \sqrt 2) + (0 + 0 \sqrt 2) = (a + 0) + (b + 0) \sqrt 2 = a + b \sqrt 2\\
(0 + 0 \sqrt 2) + (a + b \sqrt 2) = (0 + a) + (0 + b) \sqrt 2 = a + b \sqrt 2
\]
Ovviamente $a + 0 = a$, $0 + a = a$ (e lo stesso con $b$ al posto di $a$) poiché $0, a, b \in \mathbb{Q}$ e sappiamo benissimo le proprietà che valgono per l'operazione $+$ in $\mathbb{Q}$.
Mi rendo conto come sia inizialmente difficile "staccarsi" dalle considerazioni relative alle operazioni, gli elementi neutri e quant'altro eseguite sugli insiemi più "classici" quali $\mathbb{N}$ come ci è stato insegnato alla scuola elementare e media.
\[
(a + b \sqrt 2) + (0 + 0 \sqrt 2) = (a + 0) + (b + 0) \sqrt 2 = a + b \sqrt 2\\
(0 + 0 \sqrt 2) + (a + b \sqrt 2) = (0 + a) + (0 + b) \sqrt 2 = a + b \sqrt 2
\]
Ovviamente $a + 0 = a$, $0 + a = a$ (e lo stesso con $b$ al posto di $a$) poiché $0, a, b \in \mathbb{Q}$ e sappiamo benissimo le proprietà che valgono per l'operazione $+$ in $\mathbb{Q}$.
Mi rendo conto come sia inizialmente difficile "staccarsi" dalle considerazioni relative alle operazioni, gli elementi neutri e quant'altro eseguite sugli insiemi più "classici" quali $\mathbb{N}$ come ci è stato insegnato alla scuola elementare e media.
quindi dovevo verificare, quando ( in $F$ ) $a + b sqrt 2 = 0 $ ( perché l'elemento neutro della somma è lo zero )
questo accade, quando $ a = 0 $ e $b = 0 $ , dunque $ 0 + 0 sqrt 2 = 0 $
e $a + b sqrt 2 +( 0 + 0 sqrt 2 )$ ( cioè $0$ )
da come risultato $a + b sqrt 2$
Dunque, per trovare l'opposto ,
cioè verificare che $ EE h in F : r + h = 0 $
$ r = p + q sqrt 2 $
$ (p + q sqrt 2) + h = 0 $
quindi $ h = - (p + q sqrt 2 ) $ ?
non dovrei dimostrare l'esistenza di $ h $ ?
Calma, il tuo zero riferito al campo $F$ non è $0$ ma $0 + \sqrt 2$ 
(perdona la smiley ma era giusto per rendere l'idea).
Dimostrare l'esistenza di un elemento è molto facile in realtà poiché è sufficiente fornirlo (se si è in grado) e mostrare che verifica la proprietà cercata. Nel nostro caso se $r = p + q \sqrt 2$ posso scegliere $-r = -p - q \sqrt 2$ (già che dobbiamo determinare l'inverso, detto anche semplicemente opposto in tal caso, di $r$ chiamiamolo $-r$ anziché $h$). Questo è l'inverso poiché si ha $r + (-r) = (p + q \sqrt 2) + (-p - q \sqrt 2) = (p - p) + (q - q)\sqrt 2 = 0 + 0 \sqrt 2$ (che è il nostro elemento neutro come dimostrato prima). L'operazione $-$ nella definizione del nostro campo $F$ non è contemplata poiché sono definite soltanto $+$ e $\cdot$ (quando eseguo $p - p$ e $q - q$ uso la sottrazione in $\mathbb{Q}$; se fai caso solo per questo posso scrivere $p - p = 0$ e $q - q = 0$).
That's it.
(perdona la smiley ma era giusto per rendere l'idea).Dimostrare l'esistenza di un elemento è molto facile in realtà poiché è sufficiente fornirlo (se si è in grado) e mostrare che verifica la proprietà cercata. Nel nostro caso se $r = p + q \sqrt 2$ posso scegliere $-r = -p - q \sqrt 2$ (già che dobbiamo determinare l'inverso, detto anche semplicemente opposto in tal caso, di $r$ chiamiamolo $-r$ anziché $h$). Questo è l'inverso poiché si ha $r + (-r) = (p + q \sqrt 2) + (-p - q \sqrt 2) = (p - p) + (q - q)\sqrt 2 = 0 + 0 \sqrt 2$ (che è il nostro elemento neutro come dimostrato prima). L'operazione $-$ nella definizione del nostro campo $F$ non è contemplata poiché sono definite soltanto $+$ e $\cdot$ (quando eseguo $p - p$ e $q - q$ uso la sottrazione in $\mathbb{Q}$; se fai caso solo per questo posso scrivere $p - p = 0$ e $q - q = 0$).
That's it.
Sto provando a dimostrare la proprietà commutativa del prodotto , ma non mi torna .
Ho posto
$ x = a + b sqrt 2 $
$ y = c + d sqrt 2 $
$ z = e + f sqrt 2 $
$ (xy)z = x(yz) $
Ho posto
$ x = a + b sqrt 2 $
$ y = c + d sqrt 2 $
$ z = e + f sqrt 2 $
$ (xy)z = x(yz) $
Basta che sviluppi il prodotto a sinistra dell'uguaglianza separatamente da quello di destra. I prodotti tra parentesi $xy$ e $yz$ vanno eseguiti per primi. Basta che applichi la definizione dell'operazione stando appositamente attento ovviamente.
Rivisto , errore di calcolo 
L'elemento neutro del prodotto è $1+0 sqrt 2 $ giusto ?
L'elemento neutro del prodotto è $1+0 sqrt 2 $ giusto ?
No, calma: l'elemento neutro della somma è $0 + 0\sqrt 2$ come avevamo visto qui in precedenza.
Immagino tu indessi dire che $1 + 0\sqrt 2$ è l'elemento neutro del prodotto. Questo sì
.
Immagino tu indessi dire che $1 + 0\sqrt 2$ è l'elemento neutro del prodotto. Questo sì
.
Nel dimostrare l'esistenza dell'inverso del prodotto , come faccio a sapere se $(1 + 0 sqrt 2 )/(a + b sqrt 2) in F$ ?
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