Campi Locali

[Stefano_921]

Ciao (:

Non riesco a dimostrare che ogni campo locale $(K,v)$ con caratteristica $(0,p)$ è una estensione finita di $ \mathbb{Q}_p $.

Dove $ \mathbb{Q}_p $ è il campo locale p-adico.

Grazie mille a chiunque provi a darmi una mano.


P.S. conoscete qualche sito/dispensa in cui posso trovare esercizi su queste cose, possibilmente con soluzione? Grazie (:

[Stickelberger]

Forse dovresti darci la definizione di un campo locale

[killing_buddha]

Googlando, non sembra un risultato banale: si tratta di dimostrare che $K$ ammette una struttura di spazio metrico completo, e dopo avere invocato il teorema di Ostrowski dire che quindi contiene o il completamento di $\mathbb Q$ euclideo, o il completamento rispetto a $\mathbb Q$ $p$-adico per qualche primo $p$.

Ma il modo standard di dimostrare la prima cosa è dicendo che $K$ ammette una misura di Haar $\mu$ unica a meno di moltiplicazione scalare, e allora la mappa \(Y\mapsto \mu(xY)\) è della forma \(\alpha(x)\cdot \mu(-)\) per un unico $\alpha(x)$; dimostrando che questo definisce \(\alpha : K \to \mathbb{R}_\ge\) dà a $K$ una metrica rispetto al quale esso è completo. Non è esattamente una scemenza, così come il teorema di Ostrowski.

[Stefano_921]

Purtroppo non so cosa sia una misura di Haar, quindi penso ci sia un altro modo (questo è un esercizio che ci ha lasciato il professore).

Comunque per campo locale intendo un campo di valutazione discreto e completo di caratteristica $0$, con campo residuo di cratteristica $p$ e finito, che quindi è perfetto.

(campo di valutazione discreto significa che la valutazione che definisci sul campo ha valori in $\mathbb{Z}$.

Spero sia più chiaro adesso.

Grazie mille!

[dan952]

Che teoremi hai studiato?

[Stefano_921]

Abbiamo studiato le estensioni finite di un campo locale, non ramificata, totalmente ramificata, e abbiamo visto che ogni estensione finita la si può spezzare in due di quel tipo, e tutte le proprietà dei campi che ottieni con queste estensioni (tipo che l'estensione tot. ramificata è generata da un pol. di Eisenstein e viceversa), poi abbiamo fatto qualcosa su differente e discriminante di una estensione di un campo locale, poi abbiamo studiato le chiusure algebriche di campi locali e qui abbiamo visto il lemma di Kresner con alcuni corollari e applicazioni, poi la teoria di Galois per estensioni algebriche di campi locali, in cui vedi il gruppo di Galois come limite inverso.. Poi qualcosa su $\mathbb{C}_p$ e il teorema di Ax e Tate.
Questo per i campi locali, ma prima di arrivarci abbiamo approfondito la teoria sui campi di valutazione discreta.

[Stefano_921]

Penso di averlo risolto, ho fatto vedere che il suo anello locale contiene $\mathbb{Z}$, quindi $K$ contiene $\mathbb{Q}$ e poi ho fatto vedere che la valutazione di $p$ è $1$ e quella di qualsiasi altro primo è $0$ e dunque è l valutazione $p$-adica e dunque $K$ contiene anche $\mathbb{Q}_p$.

[dan952]

Che ogni campo di caratteristica 0 contenga $QQ$ è un risultato abbastanza noto. Devi dimostrare che è un estensione finita, per farlo prova sfruttare l'ipotesi che è un campo locale