Campi intermedi e teorema di corrispondenza

[francicko]

Quello che ancora non mi è chiaro, è che se ho un estensione $E//F$ di campi, sia $G=Gal(E//F)$, dato un sottogruppo $H$ di $G$ si pone:
$E^H$ $={a$ $in$ $E$ $| sigma(a) =a$ per ogni $sigma$ $in$ $H} $, nel testo dice si vede "facilmente" che questo è un campo intermedio, per l'estensione $E//F$.
Potreste fornirmi qualche dettaglio in più su questo "facilmente", grazie!

[solaàl]

E' evidentemente un sottoinsieme di \(E\): è un campo, perché è chiuso per somma, prodotto, eccetera. E contiene il campo piu piccolo, perché $H$ è un sottogruppo del gruppo degli automorfismi di $E$ che fissano $F$.

In più, ma questo non ti è stato chiesto, mandare $H$ in $E^H$ è un'operazione controvariante: se \(H\le K\) sono due sottogruppi di $G$ uno dentro l'altro, allora \(E^K \subseteq E^H\).

[francicko]

Grazie per la risposta,se non ti è di disturbo, puoi illustrarvi un esempio? Grazie!

[solaàl]

Beh, solitamente esempi di estensioni di Galois si ottengono come campi di spezzamento di polinomi; prendi un polinomio irriducibile su $QQ$, il suo campo di spezzamento è separato da $QQ$ da un numero di campi intermedi che è uguale al numero di sottogruppi di \(\text{Gal}(E|\mathbb Q)\). C'è un esempio non banale su Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Splitting ... ic_example