Campi intermedi di un gruppo di galois
Ciao a tutti, faccio un rapido riepilogo di quanto trovato fin ora. La situazione è la seguente:
$f=x^3-7$ polinomio su $QQ$, gli zeri sono $beta$, $alphabeta$ e $alpha^2beta$ con $beta=root(3)(7)$ e $alpha=-1/2+isqrt(3)/2$.
Il campo di spezzamento è $F=QQ(alpha, beta)$ con $[F]=2*3=6$.
$QQ sub F$ è un'estensione di Galois essendo campo di spezzamento di $f$ che è separabile, dunque, posto $G=Gal(F \/QQ)$, si ha che $|G|=[F]=6$.
Gli elementi di $G$ sono determinati dagli automorfismi $varphi(alpha)$ e $varphi(beta)$, e poiché $varphi(alpha)^3=1$ e $varphi(beta)^3=7$ si ha che $varphi(alpha) in {alpha, alpha^2}$ e $varphi(beta) in {beta, alphabeta, alpha^2beta}$.
Allora gli elementi di $G$ sono:
$varphi_1=id_F$ con $varphi(alpha)=alpha$ e $varphi(beta)=beta$, di ordine 1
$varphi_2$ con $varphi(alpha)=alpha$ e $varphi(beta)=alphabeta$, di ordine 3
$varphi_3$ con $varphi(alpha)=alpha$ e $varphi(beta)=alpha^2beta$, di ordine 3
$varphi_4$ con $varphi(alpha)=alpha^2$ e $varphi(beta)=beta$, di ordine 2
$varphi_5$ con $varphi(alpha)=alpha^2$ e $varphi(beta)=alphabeta$, di ordine 2
$varphi_6$ con $varphi(alpha)=alpha^2$ e $varphi(beta)=alpha^2beta$, di ordine 2
I sottogruppi propri di $G$ sono di ordine 2 o 3 quindi ciclici, e sono:
$ = $ di ordine 3
$$ di ordine 2
$$ di ordine 2
$$ di ordine 2
Arriviamo ora a ciò che non ho ben chiaro, i campi intermedi di $G$.
Mi sembra di aver capito che i campi intermedi sono i campi fissi dei vari sottogruppi $<φ2>$, $<φ3>$ ecc.
Dalla definizione so che i campi fissi di un sottogruppo $G$ di $AutF$ sono i sottocampi di $F$ tali che $Fix_F(G)={a∈F∣φ(a)=a,∀φ∈G}$.
Quindi, tornando all'esercizio, devo trovare tutti quegli elementi del campo di spezzamento $F$ che vengono fissati da un certo automorfismo $φ$ ?
$f=x^3-7$ polinomio su $QQ$, gli zeri sono $beta$, $alphabeta$ e $alpha^2beta$ con $beta=root(3)(7)$ e $alpha=-1/2+isqrt(3)/2$.
Il campo di spezzamento è $F=QQ(alpha, beta)$ con $[F]=2*3=6$.
$QQ sub F$ è un'estensione di Galois essendo campo di spezzamento di $f$ che è separabile, dunque, posto $G=Gal(F \/QQ)$, si ha che $|G|=[F]=6$.
Gli elementi di $G$ sono determinati dagli automorfismi $varphi(alpha)$ e $varphi(beta)$, e poiché $varphi(alpha)^3=1$ e $varphi(beta)^3=7$ si ha che $varphi(alpha) in {alpha, alpha^2}$ e $varphi(beta) in {beta, alphabeta, alpha^2beta}$.
Allora gli elementi di $G$ sono:
$varphi_1=id_F$ con $varphi(alpha)=alpha$ e $varphi(beta)=beta$, di ordine 1
$varphi_2$ con $varphi(alpha)=alpha$ e $varphi(beta)=alphabeta$, di ordine 3
$varphi_3$ con $varphi(alpha)=alpha$ e $varphi(beta)=alpha^2beta$, di ordine 3
$varphi_4$ con $varphi(alpha)=alpha^2$ e $varphi(beta)=beta$, di ordine 2
$varphi_5$ con $varphi(alpha)=alpha^2$ e $varphi(beta)=alphabeta$, di ordine 2
$varphi_6$ con $varphi(alpha)=alpha^2$ e $varphi(beta)=alpha^2beta$, di ordine 2
I sottogruppi propri di $G$ sono di ordine 2 o 3 quindi ciclici, e sono:
$
$
$
$
Arriviamo ora a ciò che non ho ben chiaro, i campi intermedi di $G$.
Mi sembra di aver capito che i campi intermedi sono i campi fissi dei vari sottogruppi $<φ2>$, $<φ3>$ ecc.
Dalla definizione so che i campi fissi di un sottogruppo $G$ di $AutF$ sono i sottocampi di $F$ tali che $Fix_F(G)={a∈F∣φ(a)=a,∀φ∈G}$.
Quindi, tornando all'esercizio, devo trovare tutti quegli elementi del campo di spezzamento $F$ che vengono fissati da un certo automorfismo $φ$ ?
Risposte
C'è una corrispondenza biunivoca tra gli intercampi tra $QQ$ e $F$ e i sottogruppi di $G$. Per ogni intercampo bisogna trovare il sottogruppo corrispondente.
Per esempio il sottogruppo corrispondente a $QQ(alpha)$ è dato dagli elementi di $G$ che fissano $alpha$, cioè [tex]\{ \varphi_1, \varphi_2, \varphi_3\} = \langle \varphi_2 \rangle[/tex]. Quindi [tex]\langle \varphi_2 \rangle[/tex] corrisponde a [tex]\mathbb{Q}(\alpha)[/tex]. Adesso considera gli altri intercampi tenendo presente che intercampi che corrispondono a sottogruppi diversi sono diversi tra loro.
Per esempio il sottogruppo corrispondente a $QQ(alpha)$ è dato dagli elementi di $G$ che fissano $alpha$, cioè [tex]\{ \varphi_1, \varphi_2, \varphi_3\} = \langle \varphi_2 \rangle[/tex]. Quindi [tex]\langle \varphi_2 \rangle[/tex] corrisponde a [tex]\mathbb{Q}(\alpha)[/tex]. Adesso considera gli altri intercampi tenendo presente che intercampi che corrispondono a sottogruppi diversi sono diversi tra loro.
Ah dunque il sottogruppo corrispondente a $QQ(beta)$ è dato dagli elementi di $G$ che fissano $beta$, cioè ${varphi_1, varphi_4}=⟨varphi_4⟩$. Dunque $Fix_F(⟨varphi_4⟩)=QQ(beta)$.
Il sottogruppo corrispondente a $QQ(alphabeta)$ è dato dagli elementi di $G$ che fissano $alphabeta$, cioè ${varphi_2, varphi_5} = ⟨varphi_5⟩$. Dunque $Fix_F(⟨varphi_5⟩) = QQ(alphabeta)$.
Infine il sottogruppo corrispondente a $QQ(alpha^2beta)$ è dato dagli elementi di $G$ che fissano $alpha^2beta$, cioè ${varphi_3, varphi_6} = ⟨varphi_6⟩$. Dunque $Fix_F(⟨varphi_6⟩) = QQ(alpha^2beta)$.
Ho fatto giusto?
Il sottogruppo corrispondente a $QQ(alphabeta)$ è dato dagli elementi di $G$ che fissano $alphabeta$, cioè ${varphi_2, varphi_5} = ⟨varphi_5⟩$. Dunque $Fix_F(⟨varphi_5⟩) = QQ(alphabeta)$.
Infine il sottogruppo corrispondente a $QQ(alpha^2beta)$ è dato dagli elementi di $G$ che fissano $alpha^2beta$, cioè ${varphi_3, varphi_6} = ⟨varphi_6⟩$. Dunque $Fix_F(⟨varphi_6⟩) = QQ(alpha^2beta)$.
Ho fatto giusto?
La parte relativa a $QQ(beta)$ è giusta ma le altre due no. Mi pare che $QQ(alpha beta)$ sia fissato da $varphi_6$. Prova a ricontrollare.
Ah giusto perché, ricordando che $alpha^3=1$, si ha:
con $varphi_5$ si ha $varphi(alphabeta)=varphi(alpha)varphi(beta)=alpha^3beta=beta!=alphabeta$
invece con $varphi_6$ si ha $varphi(alphabeta)=alpha^4beta=alpha^3alphabeta=alphabeta$
dunque $⟨φ_6⟩$ corrisponde a $Q(αbeta)$
E quindi
con $varphi_5$ si ha $varphi(alpha^2beta)=alpha^5beta=alpha^2beta$
mentre con $varphi_6$ si ha $varphi(alpha^2beta)=alpha^6beta=beta!=alpha^2beta$
dunque $⟨φ_5⟩$ corrisponde a $Q(α^2beta)$
Corretto?
con $varphi_5$ si ha $varphi(alphabeta)=varphi(alpha)varphi(beta)=alpha^3beta=beta!=alphabeta$
invece con $varphi_6$ si ha $varphi(alphabeta)=alpha^4beta=alpha^3alphabeta=alphabeta$
dunque $⟨φ_6⟩$ corrisponde a $Q(αbeta)$
E quindi
con $varphi_5$ si ha $varphi(alpha^2beta)=alpha^5beta=alpha^2beta$
mentre con $varphi_6$ si ha $varphi(alpha^2beta)=alpha^6beta=beta!=alpha^2beta$
dunque $⟨φ_5⟩$ corrisponde a $Q(α^2beta)$
Corretto?
Giusto!
Grazie mille Martino! Anche questo è stato risolto 
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