Campi finiti
Stabilire se esistono radici non banali del polinomio \(\displaystyle x^5-1 \) in \(\displaystyle F_{16} \)
Tutto quello che so è
\(\displaystyle 16=2^4 \) quindi \(\displaystyle F_{16} \) è un campo ed è il campo di spezzamento del polinomio \(\displaystyle x^{16}-x \) in \(\displaystyle Z_2 \). Inoltre \(\displaystyle [F_{16}:F_2]= 4 \) quindi \(\displaystyle F_{16} \) contiene una radice di un polinomio di grado 4 irriducibile in \(\displaystyle F_2 \)
l'unico legame che potrebbe esserci con il polinomio iniziale è che posso scrivere, usando la teoria dei polinomi ciclotomici
\(\displaystyle x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) \)
Mi date una mano?
Tutto quello che so è
\(\displaystyle 16=2^4 \) quindi \(\displaystyle F_{16} \) è un campo ed è il campo di spezzamento del polinomio \(\displaystyle x^{16}-x \) in \(\displaystyle Z_2 \). Inoltre \(\displaystyle [F_{16}:F_2]= 4 \) quindi \(\displaystyle F_{16} \) contiene una radice di un polinomio di grado 4 irriducibile in \(\displaystyle F_2 \)
l'unico legame che potrebbe esserci con il polinomio iniziale è che posso scrivere, usando la teoria dei polinomi ciclotomici
\(\displaystyle x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) \)
Mi date una mano?
Risposte
Aggiungo un'altra idea:
\(\displaystyle x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) \)
Sia \(\displaystyle f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1 \). \(\displaystyle f(x) \) è irriducibile su \(\displaystyle F_2 \) poichè non ha radici. Sia \(\displaystyle \alpha \) radice di \(\displaystyle f(x) \), allora per costruzione \(\displaystyle f(x) \) è il polinomio minimo di \(\displaystyle \alpha \) pertanto \(\displaystyle [F_2(\alpha):F_2]=4 \).
Ma \(\displaystyle F_2(\alpha):\{ a+b\alpha+c\alpha^2+d\alpha^3 | a,b,c,d \in F_2 \} = \{ 1,0,1+\alpha, 1+\alpha^2, 1+\alpha^3, \alpha, \alpha^2,\alpha^3, \alpha+\alpha^2, \alpha+\alpha^3, \alpha^2+\alpha^3, \alpha+\alpha^2+\alpha^3, 1+\alpha^2+\alpha^3, 1+\alpha+\alpha^3, 1+\alpha+\alpha^2\} \).
Questi dovrebbero essere tutti e soli gli elementi di \(\displaystyle F_2(\alpha) \). Quindi in particolare \(\displaystyle |F_2(\alpha)| = |F_{16}| \) e dunque \(\displaystyle F_2(\alpha) \cong F_{16} \).
Vi trovate o ho sbagliato qualcosa?
\(\displaystyle x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) \)
Sia \(\displaystyle f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1 \). \(\displaystyle f(x) \) è irriducibile su \(\displaystyle F_2 \) poichè non ha radici. Sia \(\displaystyle \alpha \) radice di \(\displaystyle f(x) \), allora per costruzione \(\displaystyle f(x) \) è il polinomio minimo di \(\displaystyle \alpha \) pertanto \(\displaystyle [F_2(\alpha):F_2]=4 \).
Ma \(\displaystyle F_2(\alpha):\{ a+b\alpha+c\alpha^2+d\alpha^3 | a,b,c,d \in F_2 \} = \{ 1,0,1+\alpha, 1+\alpha^2, 1+\alpha^3, \alpha, \alpha^2,\alpha^3, \alpha+\alpha^2, \alpha+\alpha^3, \alpha^2+\alpha^3, \alpha+\alpha^2+\alpha^3, 1+\alpha^2+\alpha^3, 1+\alpha+\alpha^3, 1+\alpha+\alpha^2\} \).
Questi dovrebbero essere tutti e soli gli elementi di \(\displaystyle F_2(\alpha) \). Quindi in particolare \(\displaystyle |F_2(\alpha)| = |F_{16}| \) e dunque \(\displaystyle F_2(\alpha) \cong F_{16} \).
Vi trovate o ho sbagliato qualcosa?
Sì, ma non c'era bisogno di esplicitare gli elementi di \(\displaystyle\mathbb{F}_2(\alpha)\)! 
E' vero che $1+x+x^2+x^3+x^4$ e' irriducibile in $F_2[x]$, ma per
dimostrare questo, non basta verificare che non ha zeri in $F_2$.
Invece, si potrebbe osservare che il gruppo moltiplicativo $F_{16}^{\times}$ ha
$15$ elementi e contiene quindi elementi $\zeta!=1$ che soddisfano $\zeta^5=1$.
dimostrare questo, non basta verificare che non ha zeri in $F_2$.
Invece, si potrebbe osservare che il gruppo moltiplicativo $F_{16}^{\times}$ ha
$15$ elementi e contiene quindi elementi $\zeta!=1$ che soddisfano $\zeta^5=1$.
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