Campi e quozienti

[nyx1]

Salve a tutti....
Allora avrei bisogno di una mano...
Devo stabilire , quali dei seguenti quozienti è un campo

-Q[x]/$(25x^4+9x^3+30x^2+15x+6)$
posso usare il criterio criterio di Eisenstein???? Il numero primo può essere 2? quindi se dovesse essere così (e non ne sono sicura ) sarebbe irriducibile e quindi un campo
- Q[x]/$(x^6+x^3+x^2)$
questo dovrebbe essere riducibile.
-R[x]/ $(x^2+1)$
è irriducibile perchè di grado 2 e con il $ Δ < 0 $ e un campo
-C[x]/$(x+1)$
f è irriducibile perchè f ha grado 1. e un campo
Si procede in questo modo???
Grazie mille.....

[Paolo902]

Ciao.

Andiamo per ordine:

"nyx":
-Q[x]/$(25x^4+9x^3+30x^2+15x+6)$
posso usare il criterio criterio di Eisenstein???? Il numero primo può essere 2? quindi se dovesse essere così (e non ne sono sicura ) sarebbe irriducibile e quindi un campo

L'idea di usare Eisenstein è corretta, come pure lo è la conclusione (il polinomio è irriducibile, quindi l'ideale è massimale e il quoziente un campo). Tuttavia non è corretta l'applicazione del criterio di Eisenstein: sai che cosa dice?

"nyx":
- Q[x]/$(x^6+x^3+x^2)$
questo dovrebbe essere riducibile.
-R[x]/ $(x^2+1)$
è irriducibile perchè di grado 2 e con il $ Delta < 0 $ e un campo
-C[x]/$(x+1)$
f è irriducibile perchè f ha grado 1. e un campo

Questi sono corretti.

[nyx1]

"Paolo90":Ciao.

Andiamo per ordine:

[quote="nyx"]
-Q[x]/$(25x^4+9x^3+30x^2+15x+6)$
posso usare il criterio criterio di Eisenstein???? Il numero primo può essere 2? quindi se dovesse essere così (e non ne sono sicura ) sarebbe irriducibile e quindi un campo

L'idea di usare Eisenstein è corretta, come pure lo è la conclusione (il polinomio è irriducibile, quindi l'ideale è massimale e il quoziente un campo). Tuttavia non è corretta l'applicazione del criterio di Eisenstein: sai che cosa dice?

"nyx":
- Q[x]/$(x^6+x^3+x^2)$
questo dovrebbe essere riducibile.
-R[x]/ $(x^2+1)$
è irriducibile perchè di grado 2 e con il $ Delta < 0 $ e un campo
-C[x]/$(x+1)$
f è irriducibile perchè f ha grado 1. e un campo

Questi sono corretti.

[/quote]
Si in pratica dice che sia f un polinomio a coefficienti interi n $ n > 0$. se esiste p primo che divide a0, an-1 ma non divide an, e se $p^2$ non divide a0 il polinomio è irriducibile!!!
Ora il mio problema è applicarlo!

[Paolo902]

Sì, esatto.

Quindi devi cercare un primo $p$ che divida... ma non...
Inoltre $p^2$ non deve dividere..

[nyx1]

"Paolo90":Sì, esatto.

Quindi devi cercare un primo $p$ che divida... ma non...
Inoltre $p^2$ non deve dividere..

Allora il primo è 3. Non ho pensato agli altri coefficienti. inoltre il quadrato non divide 6 giusto.Sono Sbadata.....

[Paolo902]

Esatto, molto bene.

[nyx1]

"Paolo90":Esatto, molto bene.

grazie mille. Ciao

[Paolo902]

Prego, figurati.

Ciao