Campi e domini
Sia K un campo e si ponga A:=K[x]; l'anello A[y] è detto l'anello dei polinomi in x e y a coefficienti in K, ed è denotato con K[x,y].
1) K[x,y] è un dominio?
2) K[x,y] è un campo?
Allora, dato che se K è campo $ rArr $ K[x] è dominio $ rArr $ A[y] = K[x,y] è dominio.
Ma posso dire se K[x,y] è campo oppure no?
E poi, per quanto riguarda l'anello $ QQ [sqrt16] $ , posso dire che non è un campo perchè 16 è un quadrato in $ QQ $ , ma come faccio a stabilire se è o non è dominio?
1) K[x,y] è un dominio?
2) K[x,y] è un campo?
Allora, dato che se K è campo $ rArr $ K[x] è dominio $ rArr $ A[y] = K[x,y] è dominio.
Ma posso dire se K[x,y] è campo oppure no?
E poi, per quanto riguarda l'anello $ QQ [sqrt16] $ , posso dire che non è un campo perchè 16 è un quadrato in $ QQ $ , ma come faccio a stabilire se è o non è dominio?
Risposte
Per quanto riguarda $QQ[sqrt(16)]$ credo che si possa ricondurre a $QQ$ per il fatto che $sqrt(16)=4 in QQ$ allora essendo $QQ$ campo, automaticamente è un dominio di integrità.
Spero di non aver sbagliato l'interpretazione!
Spero di non aver sbagliato l'interpretazione!
Per rispondere alle prime 2 domande basta ricordarsi che i polinomi a coefficienti un campo soddisfano la regola additiva dei gradi nei loro prodotti!
Ma la $ sqrt(16) $ in teoria non è un'estensione di $ QQ $ ? e quindi $ sqrt(16) $ non è $4$ ma ci saranno $4 sqrt(16) $, cioè $pm 4$ che stanno già in $ QQ $ e $pm sqrt(16)$ i nuovi elementi. E quindi, posso dire che non è un campo per la proposizione "Sia K campo. Allora $K[sqrt(d)]$ è un campo $ hArr $ d non è un quadrato in K" ma per quanto riguarda se è o meno un dominio...non so cosa dire!
Se con [tex]$\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$[/tex] tu intendessi l'estensione quadratica di [tex]$\mathbb{Q}$[/tex] mediante [tex]$d$[/tex] allora sì!
Penso che Lorin abbia capito; come me, che [tex]$\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$[/tex] sia l'insieme degli elementi di [tex]$\mathbb{Q}$[/tex] ottenuti dall'immagine di [tex]$4$[/tex] mediante le funzioni polinomiali dovute ai polinomi a coefficienti in [tex]$\mathbb{Q}$[/tex].
Penso che Lorin abbia capito; come me, che [tex]$\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$[/tex] sia l'insieme degli elementi di [tex]$\mathbb{Q}$[/tex] ottenuti dall'immagine di [tex]$4$[/tex] mediante le funzioni polinomiali dovute ai polinomi a coefficienti in [tex]$\mathbb{Q}$[/tex].
Comunque [tex]\mathbb{K}[x, y][/tex] non è mai un campo se [tex]\mathbb{K}[/tex] non è banale, ovvero ridotto a [tex]0[/tex]. Infatti è un dominio a fattorizzazione unica (il che si dimostra come diceva ste* nel primo post) ma non a ideali principali perché contiene l'ideale [tex]\langle x, y \rangle[/tex].
(Per favore controllate quanto ho scritto perché è da molto che non tocco questa teoria. Grazie)
(Per favore controllate quanto ho scritto perché è da molto che non tocco questa teoria. Grazie)
@dissonance: Un campo non può avere sostegno [tex]$\{0\}$[/tex]. 
Ah ${0}$ non si considera campo? Ok, meglio così, allora vuol dire che possiamo dire più semplicemente: $K[x, y]$ non è mai un campo.
L'anello nullo (così lo chiamo) non è un anello unitario per cui non può essere un campo!
mmm...ok che l'anello nullo non può essere un campo dato che non è unitario..ma non ho capito perchè posso dire che K[x,y] non è mai un campo! :(
Un altro modo per dimostrare l'asserto è calcolare i suoi elementi invertibili, o meglio: dimostrare che essi sono tutti e soli i polinomi di grado [tex]$0$[/tex] rispetto a tutte le indeterminate!
Penso di aver capito...cioè posso dire che l'anello K[x,y] non è mai un campo dato che non è neppure un dominio ad ideali principali, in quanto l'ideale (x,y) non può essere generato da un singolo elemento!
Spero che detto così sia sufficiente!
Grazie per l'aiuto! ;)
Spero che detto così sia sufficiente!
Grazie per l'aiuto! ;)
Ti sei fatto un giro enorme ma è corretto!
Prego, di nulla!
Prego, di nulla!
Quindi, intendendo con $ QQ[sqrt(16)] $ l'estensione di $ QQ $, so che non è un campo, ma cosa posso dire sul dominio?
Invece per quanto riguarda l'anello $ ZZ_6[x] $ / $ (x) $, è giusto dire che non è un dominio d'integrità in quanto non lo è $ ZZ_6 $ ?
Invece per quanto riguarda l'anello $ ZZ_6[x] $ / $ (x) $, è giusto dire che non è un dominio d'integrità in quanto non lo è $ ZZ_6 $ ?
"ste*":
Penso di aver capito...cioè posso dire che l'anello K[x,y] non è mai un campo dato che non è neppure un dominio ad ideali principali, in quanto l'ideale (x,y) non può essere generato da un singolo elemento!
Semplificati la vita: [tex]K[x,y][/tex] non e' un campo perche' [tex]x[/tex] non e' invertibile, essendo altrimenti [tex]xf(x,y)=1[/tex] per un opportuno [tex]f(x,y) \in K[x,y][/tex], e questo e' impossibile in quanto se per assurdo [tex]xf(x,y)=1[/tex] allora valutando in [tex](0,0)[/tex] ottieni [tex]0=1[/tex], assurdo.
@ste*: In genere l'estensione di un campo [tex]$\mathbb{K}$[/tex] mediante un elemento [tex]$a$[/tex] la si indica col simbolo [tex]$\mathbb{K}(a)$[/tex] mentre l'estensione quadratica di un anello [tex]$\mathbb{A}$[/tex] mediante un elemento [tex]$b$[/tex] la si indica con [tex]$\mathbb{A}$[/tex].
A quale estensione ti riferisci?
A quale estensione ti riferisci?
ok, grazie Martino!
@j18eos mi riferisco all'estensione dell'anello ! $ QQ [sqrt16]= {a+bsqrt16, a,b in QQ } $ !
@j18eos mi riferisco all'estensione dell'anello ! $ QQ [sqrt16]= {a+bsqrt16, a,b in QQ } $ !
ok, ci sono sul fatto che non è un campo...ma quello che nn capivo è: posso dire che è un dominio?!
"ste*":Ho guardato meglio sul mio libro di algebra, tale teorema è falso poiché in realtà esso afferma che:
..."Sia K campo. Allora $K[sqrt(d)]$ è un campo $ hArr $ d non è un quadrato in K"...
Sia [tex]$\mathbb{K}$[/tex] un campo e [tex]$d$[/tex] un elemento di [tex]$\mathbb{K}$[/tex] non quadrato allora [tex]$\mathbb{K}[\sqrt{d}]$[/tex] è un campo!e te ne chiedo scusa.
Dovresti calcolarti la norma degli elementi di [tex]$\mathbb{Q}[\sqrt{16}]=\mathbb{Q}[4]$[/tex] (non è difficile) e controllare che tale sia o non sia invertibile in [tex]$\mathbb{Q}$[/tex]. Se non fosse un campo non saprei che suggerimenti darti per controllare se esso fosse o meno un dominio!
Dovresti calcolarti la norma degli elementi di [tex]$\mathbb{Q}[\sqrt{16}]=\mathbb{Q}[4]$[/tex] (non è difficile)Ma ancora piu' facile e' osservare che [tex]\mathbb{Q}[4]=\mathbb{Q}[/tex] !
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