Campi e domini
Sia K un campo e si ponga A:=K[x]; l'anello A[y] è detto l'anello dei polinomi in x e y a coefficienti in K, ed è denotato con K[x,y].
1) K[x,y] è un dominio?
2) K[x,y] è un campo?
Allora, dato che se K è campo $ rArr $ K[x] è dominio $ rArr $ A[y] = K[x,y] è dominio.
Ma posso dire se K[x,y] è campo oppure no?
E poi, per quanto riguarda l'anello $ QQ [sqrt16] $ , posso dire che non è un campo perchè 16 è un quadrato in $ QQ $ , ma come faccio a stabilire se è o non è dominio?
1) K[x,y] è un dominio?
2) K[x,y] è un campo?
Allora, dato che se K è campo $ rArr $ K[x] è dominio $ rArr $ A[y] = K[x,y] è dominio.
Ma posso dire se K[x,y] è campo oppure no?
E poi, per quanto riguarda l'anello $ QQ [sqrt16] $ , posso dire che non è un campo perchè 16 è un quadrato in $ QQ $ , ma come faccio a stabilire se è o non è dominio?
Risposte
Eh sì! 
Attenzione alle operazioni interne. 
Attenzione alle operazioni interne.
"Martino":Dovresti calcolarti la norma degli elementi di [tex]$\mathbb{Q}[\sqrt{16}]=\mathbb{Q}[4]$[/tex] (non è difficile)Ma ancora piu' facile e' osservare che [tex]\mathbb{Q}[4]=\mathbb{Q}[/tex] !
Che era quello che intendevo io nel primo post.
Ma è giusto considerare l'anello $ QQ [sqrt16] $ = $ QQ $ ?!
So per certo che non è un campo, per verificare se è o meno dominio devo vedere se:
. $ QQ $ è dominio (e lo è)
. $ x,y in QQ $ con $ x^2-dy^2 = 0 $ $ rArr $ $ x = y = 0 $ ( e secondo me anche questa è verificata)
Posso quindi concludere che l'anello $ QQ [sqrt16] $ non è un campo ma è un dominio, giusto?
So per certo che non è un campo, per verificare se è o meno dominio devo vedere se:
. $ QQ $ è dominio (e lo è)
. $ x,y in QQ $ con $ x^2-dy^2 = 0 $ $ rArr $ $ x = y = 0 $ ( e secondo me anche questa è verificata)
Posso quindi concludere che l'anello $ QQ [sqrt16] $ non è un campo ma è un dominio, giusto?
"ste*":[tex]\mathbb{Q}[\sqrt{16}]=\mathbb{Q}[4]=\mathbb{Q}[/tex] e' un campo. O stai forse dicendo che [tex]\mathbb{Q}[/tex] non e' un campo?
Posso quindi concludere che l'anello $ QQ [sqrt16] $ non è un campo ma è un dominio, giusto?
$ QQ $ è campo, ok! Però con questa estensione, nell'anello $ QQ [sqrt16] $ ci sono 4 $ sqrt16 $ e cioè $ pm 4 $ che stanno già in $ QQ $ e $ pm sqrt16 $ che sono i nuovi elementi, non posso considerare $ sqrt16 = 4 $ e basta! Questo dovrebbe essere giusto al 99% dato che sono appunti presi a lezione!
Poi c'è una proposizione che afferma: "Sia $ K $ campo. Allora $ K [sqrtd] $ è un campo $ hArr $ $ d $ non è un quadrato in $ K $ "
Dimostrazione:
Se $ K [sqrtd] $ è campo, $ d $ non è un quadrato perchè se lo fosse, $ K [sqrtd] $ non sarebbe un dominio, ma è un campo e quindi è dominio.
Provo ora che $ d $ non quadrato $ rArr $ $ K [sqrtd] $ campo.
Provo che $ AA x != 0, N(x) != 0 $ . Se ho provato ciò, $ N(x) != 0 rArr N(x) $ invertibile in $ K rArr x $ è invertibile in $ K [sqrtd] rArr K [sqrtd] $ è un campo.
Sia $ x!= 0, x= a+epsilon b, N(x)= a^2-db^2 $. Sia $ a^2-db^2=0, a^2=db^2 $ in $K$.
Se $ b != 0, d= a^2 // b^2 $ cioè $ d=(a // b)^2 $
Se $ b=0, a^2=0 $ cioè $a=0 rArr x=0 $.
Quindi, per questa proposizione, essendo $ 16 $ un quadrato in $ QQ $, posso dire che $ QQ [sqrt16] $ non è un campo!
Non è corretto il ragionamento?
Poi c'è una proposizione che afferma: "Sia $ K $ campo. Allora $ K [sqrtd] $ è un campo $ hArr $ $ d $ non è un quadrato in $ K $ "
Dimostrazione:
Se $ K [sqrtd] $ è campo, $ d $ non è un quadrato perchè se lo fosse, $ K [sqrtd] $ non sarebbe un dominio, ma è un campo e quindi è dominio.
Provo ora che $ d $ non quadrato $ rArr $ $ K [sqrtd] $ campo.
Provo che $ AA x != 0, N(x) != 0 $ . Se ho provato ciò, $ N(x) != 0 rArr N(x) $ invertibile in $ K rArr x $ è invertibile in $ K [sqrtd] rArr K [sqrtd] $ è un campo.
Sia $ x!= 0, x= a+epsilon b, N(x)= a^2-db^2 $. Sia $ a^2-db^2=0, a^2=db^2 $ in $K$.
Se $ b != 0, d= a^2 // b^2 $ cioè $ d=(a // b)^2 $
Se $ b=0, a^2=0 $ cioè $a=0 rArr x=0 $.
Quindi, per questa proposizione, essendo $ 16 $ un quadrato in $ QQ $, posso dire che $ QQ [sqrt16] $ non è un campo!
Non è corretto il ragionamento?
Ah, ora capisco cosa stai dicendo. Tu stai dicendo che l'anello [tex]K[X]/(f(x))[/tex] e' un campo se e solo se [tex]f(x)[/tex] e' irriducibile.
Pero' l'anello [tex]K[X]/(x^2-16)[/tex] (che non e' un campo, dato che ha divisori dello zero: [tex](x-4)(x+4)=0[/tex]) non lo puoi chiamare [tex]\mathbb{Q}[\sqrt{16}][/tex], c'e' un'ambiguita' di notazione. Di solito per [tex]\mathbb{Q}[a][/tex] si intende il sovra-anello di [tex]\mathbb{Q}[/tex] generato da [tex]\mathbb{Q}[/tex] e da [tex]a[/tex]. Ed e' chiaro che comunque si intenda [tex]\sqrt{16}[/tex], il sovra-anello di [tex]\mathbb{Q}[/tex] generato da [tex]\mathbb{Q}[/tex] e da [tex]\sqrt{16}[/tex] e' [tex]\mathbb{Q}[/tex].
(Ho modificato, sostituendo "sovracampo" con "sovra-anello").
Pero' l'anello [tex]K[X]/(x^2-16)[/tex] (che non e' un campo, dato che ha divisori dello zero: [tex](x-4)(x+4)=0[/tex]) non lo puoi chiamare [tex]\mathbb{Q}[\sqrt{16}][/tex], c'e' un'ambiguita' di notazione. Di solito per [tex]\mathbb{Q}[a][/tex] si intende il sovra-anello di [tex]\mathbb{Q}[/tex] generato da [tex]\mathbb{Q}[/tex] e da [tex]a[/tex]. Ed e' chiaro che comunque si intenda [tex]\sqrt{16}[/tex], il sovra-anello di [tex]\mathbb{Q}[/tex] generato da [tex]\mathbb{Q}[/tex] e da [tex]\sqrt{16}[/tex] e' [tex]\mathbb{Q}[/tex].
(Ho modificato, sostituendo "sovracampo" con "sovra-anello").
E' che la professoressa a lezione ha sempre usato questa notazione...anche la dispensa che sto utilizzando usa la stessa! :/
Quindi non è neppure dominio per il fatto che ci sono divisori dello zero?
Quindi non è neppure dominio per il fatto che ci sono divisori dello zero?
"ste*":Esatto.
Quindi non è neppure dominio per il fatto che ci sono divisori dello zero?
Strano che la tua prof usi questa notazione.
Grazie Martino per la disponibilità! Volevo farti vedere il sito che sto seguendo x studiare questi argomenti:
http://progettomatematica.dm.unibo.it/Anelli/home.htm e se vai su "indice" e poi su "anello degli interi di gauss" vedi la notazione che usa la prof!
Spero sia giusto così...e che non ci sia stata confusione!;)
http://progettomatematica.dm.unibo.it/Anelli/home.htm e se vai su "indice" e poi su "anello degli interi di gauss" vedi la notazione che usa la prof!
Spero sia giusto così...e che non ci sia stata confusione!;)
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