Campi algebricamente chiuso

[miuemia]

ciao ho un dubbio: un campo algebricamente chiuso ad esempio $CC$ può ammettere elementi trascendenti?????

[zorn1]

Trascendenti in quale campo?
Immagino dici su di esso.

Nella costruzione dell'anello dei polinomi su un campo si ha che il polinomio $X=(0,1,0,...)$ è un elemento trascendente su tale campo. Quindi se ho capito bene la domanda la risposta è sì, sempre.

[miuemia]

si intendo nello stesso campo

[miuemia]

e perche tale $X$ è trascendete???

[TomSawyer1]

Certo, li puo' ammettere. $CC$ ha i soliti numeri trascendenti. Dipende dai casi. Per esempio, il campo algebricamente chiuso degli algebrici complessi non ne ammette, ovviamente.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Scusate ma come dice Zorn, dato un qualunque campo K l'elemento X dell'estensione K(X) di K (ove K(X) è il campo delle frazioni dell'anello dei polinomi K[X]) è trascendente su K, esattamente per come sono definiti i polinomi: due polinomi in X sono uguali se e solo se hanno gli stessi coefficienti; ora, se esiste una combinazione lineare di potenze di X con coefficienti in K che dà zero (cioè un polinomio a coefficienti in K che annulla X), necessariamente ogni coefficiente è zero, quindi X è trascendente.