Campi algebricamente chiusi!

[Mrhaha]

Save ragazzi,mi stavo chiedendo,ma oltre a $CC$ esiste un altro campo algebricamente chiuso?

[menale1]

http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraically_closed_field qui ne trovi diversi !

[menale1]

P.S. spero che tu abbia letto che un esempio oltre quello dei numeri complessi sia costituito dai numeri algebrici !

[vict85]

I numeri complessi sono composti da numeri non algebrici quindi è evidente che già la chiusura algebrica di \(\mathbb{Q}\) non è \(\mathbb{C}\). D'altra parte \(\mathbb{C}\) è il completamento della chiusura algebrica di \(\mathbb{Q}\).
Anche perché non vorrei dire assurdità ma penso che la chiusura algebrica di \(\mathbb{Q}\) sia numerabile.

[garnak.olegovitc1]

Salve Mrhaha,

"Mrhaha":Save ragazzi,mi stavo chiedendo,ma oltre a $CC$ esiste un altro campo algebricamente chiuso?

bhè $CC$ è un campo algebricamente chiuso di caratteristica $0$, abbiamo anche, che io sappia, che $ZZ$$/$$ZZ_p$ con $p$ primo è un campo algebricamente chiuso di caratteristica $p$, poi non so di altri campi algebricamente chiusi.
Cordiali saluti

[j18eos]

"garnak.olegovitc":...abbiamo...che $ZZ$$/$$ZZ_p$ con $p$ primo che è un campo algebricamente chiuso di caratteristica $p$... Cordiali saluti

Ma quando mai! E.g.: \(p=2,\,x^2+x+1\in\mathbb{Z}_2[x]\) non ha radici in \(\mathbb{Z}_2\)!

"vict85":...non vorrei dire assurdità ma penso che la chiusura algebrica di \(\mathbb{Q}\) sia numerabile.

La chiusura algebrica di \(\mathbb{Q}\) deve contenere i numeri algebrici per cui (teorema di Cantor) non è numerabile ma continuo!

Spero di non aver scritto assurdità!

[vict85]

Ho controllato sul Lang (algebra) e lui dà per esercizio di mostrare che se il campo $K$ non è finito allora la sua chiusura algebrica ha la sua stessa cardinalità. Immagino sia legato al fatto che i polinomi in $K$ hanno la sua stessa cardinalità. Ma ci dovrei pensare per bene. Il suo suggerimento sarebbe questo:

If k is denumerable, one can first enumerate all polynomials in k, then enumerate finite extensions by their degree, and finally enumerate the cardinality of an arbitrary algebraic extension. We leave the counting details as
exercises.

[garnak.olegovitc1]

Salve j18eos,

"j18eos":[quote="garnak.olegovitc"]...abbiamo...che $ZZ$$/$$ZZ_p$ con $p$ primo che è un campo algebricamente chiuso di caratteristica $p$... Cordiali saluti

Ma quando mai! E.g.: \(p=2,\,x^2+x+1\in\mathbb{Z}_2[x]\) non ha radici in \(\mathbb{Z}_2\)!
[/quote]

sapevo e pensavo male, ti ringrazio per avermi corretto.
Cordiali saluti

[menale1]

Bene a sapersi di tutti questi consigli !

[Studente Anonimo]

Ricordo solo che ogni campo algebricamente chiuso è infinito. Infatti se [tex]F = \{a_1,...,a_n\}[/tex] è un campo finito allora il polinomio monico [tex](x-a_1) ... (x-a_n)+1[/tex] non ha radici in [tex]F[/tex].

[Mrhaha]

Dire che $CC$ è algebricamente chiuso è semplice,perchè nasce come conseguenza del Teorema di Gauss. Giusto? Ma come si può dimostrare che i numeri algebrici sono algebricamente chiusi?

[Studente Anonimo]

Cosa intendi esattamente con "teorema di Gauss"?

"Mrhaha":Ma come si può dimostrare che i numeri algebrici sono algebricamente chiusi?

Basta mostrare che i numeri algebrici formano un campo, e per questo vedi qui, la prima delle applicazioni.

[Mrhaha]

Intendo Il teorema fondamentale dell'algebra! Non si chiama anche teorema di Gauss? Probabilmente esisteranno altri "teoremi di Gauss",ecco il perchè della tua domanda!
Ah ecco! Quindi non è complicatissimo!
Grazie a tutti per la collaborazione!

[menale1]

Si , convengo ( naturalmente ) con la posizione di Martino . Per questo motivo sostengo che i numeri algebrici ne sono un ulteriore esempio , escludendo C !