Cambio indici sommatorie
sia data la seguente sommatoria:
$sum_(i=1)^N sum_(k=1)^N (Pk-O)xxFki$
è possibile che:
$sum_(k=1)^N sum_(i=1)^N (Pk-O)xxFki=0$
(ho scambito la posizione degli indici)
se è possibile, in base a quale regola? grazie!!!
$sum_(i=1)^N sum_(k=1)^N (Pk-O)xxFki$
è possibile che:
$sum_(k=1)^N sum_(i=1)^N (Pk-O)xxFki=0$
(ho scambito la posizione degli indici)
se è possibile, in base a quale regola? grazie!!!
Risposte
tutte quelle lettere cosa sono?
numeri reali?
se sì, hai due somme finite, quindi puoi invertirle (per commutatività in $RR$)
numeri reali?
se sì, hai due somme finite, quindi puoi invertirle (per commutatività in $RR$)
Perché la seconda è uguale a zero e la prima no? Per "x" che prodotto intendi?
sarò più preciso:
i) Pk-O è un vettore posizione
ii)x è prodotto vettoriale
i) Pk-O è un vettore posizione
ii)x è prodotto vettoriale
Ok ma per quale ragione la seconda sommatoria dovrebbe essere nulla?
dimenticavo di dire che F è una forza... in pratica è la sommatoria di momenti...
il problema è questo: sto guardando una dimostrazione di meccanica raz. per ottenere le seconda eq cardinale... il passaggio che non mi è chiaro è questo:
$sum_(i=1)^N sum_(k=1)^N (P i-O)xxFik + sum_(i=1)^N sum_(k=1)^N(Pk-O)xxFki$
e al passaggio successivo il testo dice:"nelle sommatorie possiamo scambiare gli indici $i$ e $k$ ottenendo:"
$sum_(i=1)^N sum_(k=1)^N (P i-O)xxFik =0$
come mai il secondo termine è sparito??
$sum_(i=1)^N sum_(k=1)^N (P i-O)xxFik + sum_(i=1)^N sum_(k=1)^N(Pk-O)xxFki$
e al passaggio successivo il testo dice:"nelle sommatorie possiamo scambiare gli indici $i$ e $k$ ottenendo:"
$sum_(i=1)^N sum_(k=1)^N (P i-O)xxFik =0$
come mai il secondo termine è sparito??
Ancora non capisco cosa c'entri quel "=0" nella seconda sommatoria.
Forse la prima somma che hai scritto è uguale a zero?
Forse la prima somma che hai scritto è uguale a zero?
sì scusami, hai ragione... la prima stringa è =0...
MMM. molto probabilmente ho detto una sciocchezza: in questo caso andrebba cambiato anche il contatore di $b$...noo...non vale quello che ho detto...chiedo scusa e cancello 
Tu hai una cosa del tipo
$\sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n a_{ik}+\sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n a_{ki}=0$
Se le due sommatorie sono uguali, è evidente che se 2 è invertibile (è il caso se gli $a_{ik}$ sono elementi di un $RR$-spazio vettoriale), esse sono entrambe zero (infatti in tal caso detta A tale somma, A+A=0, cioè 2A=0, cioè A=0, avendo diviso per 2). Quindi siamo ridotti a mostrare che $\sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n a_{ik}=\sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n a_{ki}$. La prima somma equivale a:
Somma 1: $(a_{11}+a_{12}+a_{13}+...+a_{1n})+(a_{21}+a_{22}+a_{23}+...+a_{2n})+...+(a_{n1}+a_{n2}+a_{n3}+...+a_{n,n})$
La seconda somma equivale a:
Somma 2: $(a_{11}+a_{21}+a_{31}+...+a_{n1})+(a_{12}+a_{22}+a_{32}+...+a_{n2})+...+(a_{1n}+a_{2n}+a_{3n}+...+a_{n,n})$
Ora, prova a scrivere tutti questi termini in una matrice:
$((a_{11},a_{12},a_{13},\cdots,a_{1n}),(a_{21},a_{22},a_{23},\cdots,a_{2n}),(a_{31},a_{32},a_{33},\cdots,a_{3n}),(\vdots,\vdots,\vdots,\ddots,\vdots),(a_{n1},a_{n2},a_{n3},\cdots,a_{n\ n}))$
Come vedi nel primo caso (somma 1) non ho fatto altro che sommare i suoi elementi considerandoli per righe, nel secondo caso (somma 2) per colonne. Quindi non appena la somma è commutativa, hai il tuo risultato.
$\sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n a_{ik}+\sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n a_{ki}=0$
Se le due sommatorie sono uguali, è evidente che se 2 è invertibile (è il caso se gli $a_{ik}$ sono elementi di un $RR$-spazio vettoriale), esse sono entrambe zero (infatti in tal caso detta A tale somma, A+A=0, cioè 2A=0, cioè A=0, avendo diviso per 2). Quindi siamo ridotti a mostrare che $\sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n a_{ik}=\sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n a_{ki}$. La prima somma equivale a:
Somma 1: $(a_{11}+a_{12}+a_{13}+...+a_{1n})+(a_{21}+a_{22}+a_{23}+...+a_{2n})+...+(a_{n1}+a_{n2}+a_{n3}+...+a_{n,n})$
La seconda somma equivale a:
Somma 2: $(a_{11}+a_{21}+a_{31}+...+a_{n1})+(a_{12}+a_{22}+a_{32}+...+a_{n2})+...+(a_{1n}+a_{2n}+a_{3n}+...+a_{n,n})$
Ora, prova a scrivere tutti questi termini in una matrice:
$((a_{11},a_{12},a_{13},\cdots,a_{1n}),(a_{21},a_{22},a_{23},\cdots,a_{2n}),(a_{31},a_{32},a_{33},\cdots,a_{3n}),(\vdots,\vdots,\vdots,\ddots,\vdots),(a_{n1},a_{n2},a_{n3},\cdots,a_{n\ n}))$
Come vedi nel primo caso (somma 1) non ho fatto altro che sommare i suoi elementi considerandoli per righe, nel secondo caso (somma 2) per colonne. Quindi non appena la somma è commutativa, hai il tuo risultato.
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