Calcolo il sottogruppo di $(Z_7^*)$ è corretto?
Ragazzi stavo facendo questo esercizio ma non sono sicuro di averlo fatto bene.
L'esercizio chiede di calcolare il sottogruppo di $(Z_7^*)$ generato da $[h]_7$, per ogni $[h]_7 in Z_7^*$. Inoltre devo stabilire se $(Z_7^*)$ è ciclico.
Allora io ho $Z_7^*={[1]_7, [2]_7, [3]_7, [4]_7, [5]_7, [6]_7}$
Ho calcolato le potenze di tutti i numeri e ho visto che solo $([3]_7, [5]_7)$ mi restituiscono l'insieme $Z_7^*$.
Quindi ho trovato il sottogruppo? Oppure sto facendo confusione e il sottogruppo si trova da tutti i numeri che restituiscono l'elemento neutro "$[1]_7$ in questo caso"?? Anche perchè $([3]_7, [5]_7)$ non è ciclico... giusto?
Grazie a chi mi risponderà.
L'esercizio chiede di calcolare il sottogruppo di $(Z_7^*)$ generato da $[h]_7$, per ogni $[h]_7 in Z_7^*$. Inoltre devo stabilire se $(Z_7^*)$ è ciclico.
Allora io ho $Z_7^*={[1]_7, [2]_7, [3]_7, [4]_7, [5]_7, [6]_7}$
Ho calcolato le potenze di tutti i numeri e ho visto che solo $([3]_7, [5]_7)$ mi restituiscono l'insieme $Z_7^*$.
Quindi ho trovato il sottogruppo? Oppure sto facendo confusione e il sottogruppo si trova da tutti i numeri che restituiscono l'elemento neutro "$[1]_7$ in questo caso"?? Anche perchè $([3]_7, [5]_7)$ non è ciclico... giusto?
Grazie a chi mi risponderà.
Risposte
Più o meno ci sei, il punto è che non fai ciò che ti chiede l'esercizio.
Prendi l'insieme $ZZ_7^("*")$, e per ogni suo elemento $h$(lasciamo perdere le quadre per alleggerire la notazione)
devi calcolare $(h)$ il sottogruppo generato da $h$.
Perciò, siccome abbiamo sei elementi distinti, ci saranno al più sei sottogruppi, che poi si riveleranno essere quattro.
Un' osservazione preliminare: $ZZ_7^("*")$ ha 6 elementi, quindi ordine 6, e quindi i possibili ordini sono $1,2,3,6$.
adesso possiamo fare le potenze successive e vedere che:
$(1)={1}$
$(2)=(4)={1,2,4}$
$(3)=(5)=ZZ_7^("*")$
$(6)={1,6}$
sono tutti e quattro dei sottogruppi, e ognuno è ovviamente ciclico. Inoltre hai dimostrato che $ZZ_7^("*")$ è ciclico, perchè ha (almeno) un generatore.
Tra l'altro $ZZ_7$ è un campo, ed è dimostrato in generale che il gruppo moltiplicativo di un campo è ciclico.
Prendi l'insieme $ZZ_7^("*")$, e per ogni suo elemento $h$(lasciamo perdere le quadre per alleggerire la notazione)
devi calcolare $(h)$ il sottogruppo generato da $h$.
Perciò, siccome abbiamo sei elementi distinti, ci saranno al più sei sottogruppi, che poi si riveleranno essere quattro.
Un' osservazione preliminare: $ZZ_7^("*")$ ha 6 elementi, quindi ordine 6, e quindi i possibili ordini sono $1,2,3,6$.
adesso possiamo fare le potenze successive e vedere che:
$(1)={1}$
$(2)=(4)={1,2,4}$
$(3)=(5)=ZZ_7^("*")$
$(6)={1,6}$
sono tutti e quattro dei sottogruppi, e ognuno è ovviamente ciclico. Inoltre hai dimostrato che $ZZ_7^("*")$ è ciclico, perchè ha (almeno) un generatore.
Tra l'altro $ZZ_7$ è un campo, ed è dimostrato in generale che il gruppo moltiplicativo di un campo è ciclico.
Grazie mille, avevo un po di confusione. Pensavo che i sottogruppi fossero solo 2, invece devo prenderli tutti e tra questi trovare il generatore.
"blackbishop13":No: il gruppo moltiplicativo di un campo finito è ciclico (per esempio $QQ-{0}$ non è ciclico). Più in generale, ogni sottogruppo finito del gruppo moltiplicativo di un campo è ciclico.
ed è dimostrato in generale che il gruppo moltiplicativo di un campo è ciclico.
Sì è vero, scusate, è stata una svista.
Grazie Martino!
Grazie Martino!
Buon pomeriggio non sono un gran che in algebra comunque vorrei sapere, chiramente se non è un disturbo.
Come fai a trovare a $(2)=(4)={1,2,4}$ e anche $(3)=(5)=ZZ_7^("*")$
grazie
anticitamente
Un' osservazione preliminare: $ZZ_7^("*")$ ha 6 elementi, quindi ordine 6, e quindi i possibili ordini sono $1,2,3,6$.
adesso possiamo fare le potenze successive e vedere che:
$(1)={1}$
$(2)=(4)={1,2,4}$
$(3)=(5)=ZZ_7^("*")$
$(6)={1,6}$
Come fai a trovare a $(2)=(4)={1,2,4}$ e anche $(3)=(5)=ZZ_7^("*")$
grazie
anticitamente
Un' osservazione preliminare: $ZZ_7^("*")$ ha 6 elementi, quindi ordine 6, e quindi i possibili ordini sono $1,2,3,6$.
adesso possiamo fare le potenze successive e vedere che:
$(1)={1}$
$(2)=(4)={1,2,4}$
$(3)=(5)=ZZ_7^("*")$
$(6)={1,6}$
scusa ma ti sei risposto da solo!!
fai le potenze successive, come hai fatto, e trovi quello che chiedevi.
fai le potenze successive, come hai fatto, e trovi quello che chiedevi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo