Calcolo del radicale di un ideale

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Ciao a tutti, potreste scrivermi esplicitamente le ipotesi per cui si é certi che il radicale di un ideale monomiale descritto dai suoi generatori sia l'ideale generato dagli stessi monomi "privati degli esponenti"?
Scusate la domanda banale, ma ormai ho trovato scritto tutto e il contrario di tutto

[j18eos]

Per ideale monomiale intendi un ideale generato da monomi a coefficienti in un dato anello (commutativo unitario) \(R\)?

A naso penso che tu debba stare attento agli elementi nilpotenti di \(R\)!

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Esatto, intendo proprio un ideale di un anello polinomiale che ammette una base di monomi.
Ero un po' di fretta e ho descritto un male il problema: sicuramente esiste un teorema per cui preso nell'anello \(\displaystyle \mathbb{K}(x_1,...,x_h) \) un ideale \(\displaystyle I = (m_1,...,m_k) \) dove gli \(\displaystyle m_j \) sono tutti monomi della forma \(\displaystyle m_j = a_i x_1^{i_1}...x_h^{i_h} \), il suo radicale è l'ideale \(\displaystyle \frac{I} = (m_1',...,m_k') \) dove \(\displaystyle m_j' = a_i x_1...x_h \), cioè è il monomio ottenuto levando a \(\displaystyle m_j \) i suoi esponenti.
In pratica, se l'ideale è \(\displaystyle (x^2, y^3) \) il suo radicale è \(\displaystyle (x,y) \).
Il problema è che non riesco a trovare/capire sotto quali ipotesi valga questo fatto...

[j18eos]

Penso che delle risposte generali tu le possa trovare svolgendo gli esercizi 1.13 e 1.18 dal capitolo 1 dell'Atiyah-MacDonald (Introduction to Commutative Algebra); è solo una indicazione di base!