Calcolo coniugati permutazione
Ciao a tutti , ho il seguente esercizio:
"Quanti sono i coniugati di $σ = (12)(345)$ in $S_5$? E in $A_5$?"
la mia idea è questa:
si potrebbe calcolare tutti gli elementi di $S_5$ e calcolare le varie classi di coniugio solo che la cosa diventerebbe lunghissima, allora avevo pensato questo: poiché in Sn gli elementi che stanno nella stessa classe di coniugio hanno la stessa struttura ciclica allora stavo per pensare di calcolare il numero di permutazioni che hanno la stessa struttura ciclica di $σ$.
vorrei sapere se il ragionamento è corretto.
In caso lo sia come potrei procedere? non mi viene nulla in mente
Vi ringrazio per la disponibilità
"Quanti sono i coniugati di $σ = (12)(345)$ in $S_5$? E in $A_5$?"
la mia idea è questa:
si potrebbe calcolare tutti gli elementi di $S_5$ e calcolare le varie classi di coniugio solo che la cosa diventerebbe lunghissima, allora avevo pensato questo: poiché in Sn gli elementi che stanno nella stessa classe di coniugio hanno la stessa struttura ciclica allora stavo per pensare di calcolare il numero di permutazioni che hanno la stessa struttura ciclica di $σ$.
vorrei sapere se il ragionamento è corretto.
In caso lo sia come potrei procedere? non mi viene nulla in mente
Vi ringrazio per la disponibilità
Risposte
Il ragionamento e' corretto. Tutti i coniugati di $(1,2)(3,4,5)$ hanno struttura ciclica $[2,3]$. Quindi devi pensare a quanti elementi in $S_5$ hanno la struttura ciclica $[2,3]$.
Prendi un qualunque riordinamento di $1,2,3,4,5$, chiamiamolo, $i_1,i_2,i_3,i_4,i_5$. Dato un qualunque riordinamento otteniamo un elemento che ha decomposizione $[2,3]$ semplicemente "aggiungendo le parentesi": $(i_1,i_2)(i_3,i_4,i_5)$. Pero' osserviamo che, ad esempio, questo riordinamento da' luogo alla stessa permutazione di classe $[2,3]$ del riordinamento $i_2,i_1,i_3,i_4,i_5$, perche' il $2$-ciclo $(i_1,i_2)$ e' uguale al $2$-ciclo $(i_2,i_1)$.
Contare i riordinamenti e' facile (sono tanti quante le permutazioni di $S_5$); bisogna valutare quanti sono i riordinamenti che danno luogo alla stessa permutazione di classe $[2,3]$.
Prendi un qualunque riordinamento di $1,2,3,4,5$, chiamiamolo, $i_1,i_2,i_3,i_4,i_5$. Dato un qualunque riordinamento otteniamo un elemento che ha decomposizione $[2,3]$ semplicemente "aggiungendo le parentesi": $(i_1,i_2)(i_3,i_4,i_5)$. Pero' osserviamo che, ad esempio, questo riordinamento da' luogo alla stessa permutazione di classe $[2,3]$ del riordinamento $i_2,i_1,i_3,i_4,i_5$, perche' il $2$-ciclo $(i_1,i_2)$ e' uguale al $2$-ciclo $(i_2,i_1)$.
Contare i riordinamenti e' facile (sono tanti quante le permutazioni di $S_5$); bisogna valutare quanti sono i riordinamenti che danno luogo alla stessa permutazione di classe $[2,3]$.
ciao scusami ho capito al 50%.
praticamente dovrei vedere in quanti modi possibili posso ordinare $i_1,i_2$ e quanti modi possibili posso ordinare $i_3,i_4,i_5$ ?
praticamente dovrei vedere in quanti modi possibili posso ordinare $i_1,i_2$ e quanti modi possibili posso ordinare $i_3,i_4,i_5$ ?
Esatto. In quanti modi li puoi ordinare in modo che il ciclo che determinano sia lo stesso. Ad esempio $(1,2,3)$ e $(2,3,1)$ sono lo stesso ciclo, ma $(1,2,3)$ e $(1,3,2)$ sono due cicli diversi.
mi verrebbe da usare le disposizioni semplici però non ne sono sicuro. Potresti darmi un suggerimento?
Ti ringrazio
Ti ringrazio
oppure mi è venuta appena adesso un'idea concreta, farei cosi:
per i cicli di lunghezza 2(in S5):
$((5),(2))$
per i cicli di lunghezza 3(in S5):
$((5),(3)) * 2!$ (moltiplico per $2!$ perché , come nel tuo esempio , l'elemento minore è fissato e cambiano gli altri)
è giusto?
per i cicli di lunghezza 2(in S5):
$((5),(2))$
per i cicli di lunghezza 3(in S5):
$((5),(3)) * 2!$ (moltiplico per $2!$ perché , come nel tuo esempio , l'elemento minore è fissato e cambiano gli altri)
è giusto?
Non capisco se questi numeri li vuoi mettere al numeratore o al denominatore.
Il numero che vuoi e' semplicemente $5!$ (tutti i possibili riordinamenti di $1,2,3,4,5$) diviso per $2*3$ ($2$ perche' l'ordine dei primi $2$ elementi non conta, in quanto vanno a finire nello stesso $2$-ciclo; $3$ perche' se permuti ciclicamente il terzo,quarto e quinto elemento, ottieni lo stesso $3$-ciclo).
Il numero che vuoi e' semplicemente $5!$ (tutti i possibili riordinamenti di $1,2,3,4,5$) diviso per $2*3$ ($2$ perche' l'ordine dei primi $2$ elementi non conta, in quanto vanno a finire nello stesso $2$-ciclo; $3$ perche' se permuti ciclicamente il terzo,quarto e quinto elemento, ottieni lo stesso $3$-ciclo).
allora lo scrivo completamente:
$((5),(2)) $ * $((5),(3)) * 2!$
è sbagliato?
$((5),(2)) $ * $((5),(3)) * 2!$
è sbagliato?
Direi di si. Quel numero fa $200$ e in $S_5$ ci sono in tutto $120$ elementi.
Il numero esatto, come ti ho scritto sopra, e'
\[
\frac{5!}{2 \cdot 3} = 20.
\]
Il fattoriale a numeratore conta tutti i riordinamenti di $1,2,3,4,5$; il $2$ a denominatore conta che riordinando i primi due termini di un riordinamento si ottiene lo stesso $2$-ciclo; il $3$ conta che riordinando ciclicamente gli ultimi tre termini di un riordinamento si ottiene lo stesso $3$-ciclo.
Il numero esatto, come ti ho scritto sopra, e'
\[
\frac{5!}{2 \cdot 3} = 20.
\]
Il fattoriale a numeratore conta tutti i riordinamenti di $1,2,3,4,5$; il $2$ a denominatore conta che riordinando i primi due termini di un riordinamento si ottiene lo stesso $2$-ciclo; il $3$ conta che riordinando ciclicamente gli ultimi tre termini di un riordinamento si ottiene lo stesso $3$-ciclo.
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