Calcolo combinatorio: sequenze di numeri crescenti
Buonasera a tutti, mi sono appena iscirtto quindi perdonatemi se commetterò qualche piccolo errore. Vorrei proporvi un esercizio di calcolo combinatorio al quale non sto riuscendo a trovare una soluzione. L'esercizio è il seguente:
"Quanti sono i numeri naturali di 8 cifre aventi le prime due cifre diverse e le ultime tre in forma crescente?"
Non so se il procedimento che sto adottando sia giusto. Per trovare il numero di coppie di numeri diversi ho fatto D10,2 ( disposizioni semplici ) e ottengo 90, per le tre cifre di mezzo non viene specificato nulla quindi ho fatto Dr10,3 ( disposizioni con ripetizione ) e ottengo 10^3.Fin qui credo di procedere in modo corretto. Adesso però non so come determinare le terne di numeri crescenti e diversi tra loro! Io sto cercando tutte le terne abc tali che 0<=a<=7 poichè il primo numero deve essere al massimo 7 visto che dopo ci devono essere altri due numeri più grandi, 1<=b<=8 ovviamente il secondo numero non può essere nè 0 nè 9 come si può facilmente intuire, infine l'ultimo numero della terna deve essere compreso strettamente fra 2 e 9. Io ho provato usando le Combinazioni semplici cioè C10,3 ottenendo 120. Infine moltiplico i 3 risultati ottenuti. Vorrei sapere gentilmente se il procedimento che ho adottato è corretto. Grazie in anticipo.
"Quanti sono i numeri naturali di 8 cifre aventi le prime due cifre diverse e le ultime tre in forma crescente?"
Non so se il procedimento che sto adottando sia giusto. Per trovare il numero di coppie di numeri diversi ho fatto D10,2 ( disposizioni semplici ) e ottengo 90, per le tre cifre di mezzo non viene specificato nulla quindi ho fatto Dr10,3 ( disposizioni con ripetizione ) e ottengo 10^3.Fin qui credo di procedere in modo corretto. Adesso però non so come determinare le terne di numeri crescenti e diversi tra loro! Io sto cercando tutte le terne abc tali che 0<=a<=7 poichè il primo numero deve essere al massimo 7 visto che dopo ci devono essere altri due numeri più grandi, 1<=b<=8 ovviamente il secondo numero non può essere nè 0 nè 9 come si può facilmente intuire, infine l'ultimo numero della terna deve essere compreso strettamente fra 2 e 9. Io ho provato usando le Combinazioni semplici cioè C10,3 ottenendo 120. Infine moltiplico i 3 risultati ottenuti. Vorrei sapere gentilmente se il procedimento che ho adottato è corretto. Grazie in anticipo.
Risposte
Per quanto riguarda le prime 2 cifre ritengo che le possibilità siano 81: la prima puo' essere da 1 a 9 (zero non è possibile), mentre la seconda può essere una qualsiasi delle altre 9 cifre (zero compreso).
Per quanto riguarda le ultime 3 cifre, dobbiamo trovare le combinazioni di 10 elementi a gruppi di 3 ( C10,3), ovvero 120.
Totale $81*1.000*120=9.720.000$
Per quanto riguarda le ultime 3 cifre, dobbiamo trovare le combinazioni di 10 elementi a gruppi di 3 ( C10,3), ovvero 120.
Totale $81*1.000*120=9.720.000$
La ringrazio per la Sua risposta chiara, mi ha permesso di colmare una mia laguna. Ho capito il suo ragionamento, pensandoci in questo caso le coppie 01,02,..,09 non dovrebbero essere considerate. Grazie ancora per la risposta.
Saluti.
Tin0.
Saluti.
Tin0.
Ciao.
Va bene che non sono più un giovincello, ma non darmi del Lei. Sul forum non si usa, ci si dà tutti del tu.
Hai scritto "laguna" al posto di lacuna. E' un lapsus freudiano?
Saluti.
Luciano.
Va bene che non sono più un giovincello, ma non darmi del Lei. Sul forum non si usa, ci si dà tutti del tu.
Hai scritto "laguna" al posto di lacuna. E' un lapsus freudiano?
Saluti.
Luciano.
Ahahah in effetti in questo momento vorrei essere a Venezia con la mia ragazza invece di studiare! Ecco giustificato il mio lapsus freudiano!! Comunque Luciano, continuando ad esercitarmi, ho trovato un esercizio simile al precedente, in cui si chiede di trovare una terna di numeri dispari crescenti. Abbiamo detto che tutte le terne crescenti sono 120, sono incluse quindi sia quelle pari, sia quelle dispari. Le terne dispari sono quelle terne che terminano con uno dei 4 numeri dispari ( escludo il numero 1 perchè non può occupare l'ultima posizione delle terne poichè devono essere crescenti ) però come posso impostare l'esercizio?
E poi ripensando al primo esercizio mi viene in mente una cosa, per le terne crescenti abbiamo usato le C10,3 ( combinazioni ) ottenendo 120. Il dubbio è: in queste 120 combinazioni sono incluse anche le terne del tipo 012,013 etc? Andrebbero considerate queste terne? Io direi di no per lo stesso motivo per cui non vengono considerate le coppie 01 etc. Quindi forse le terne crescenti sono 84 cioè C9,3.
Grazie in Anticipo!
Grazie in Anticipo!
Riguardo alle terne dispari crescenti,io direi che sono C5,3 ovvero $10$ in tutto.
Per quanto riguarda le terne crescenti totali, ti confermo che sono 120.
Non abbiamo considerato le coppie 01, 02, 03..etc. perchè un numero non comincia con zero.
Forse non ho interpretato bene il problema: 10 son le terne crescenti con TUTTE e 3 le cifre dispari.
Se invece consideriamo le terne crescenti dispari, perchè finiscono con cifra dispari, sono in tutto 70: tre che finiscono in 3; dieci che finiscono in 5; ventuno che finiscono in 7; trentasei che finiscono in 9.
Ho fatto la controprova: le terne crescenti pari sono effettivamente 50. E $70 + 50$=120
Per quanto riguarda le terne crescenti totali, ti confermo che sono 120.
Non abbiamo considerato le coppie 01, 02, 03..etc. perchè un numero non comincia con zero.
Forse non ho interpretato bene il problema: 10 son le terne crescenti con TUTTE e 3 le cifre dispari.
Se invece consideriamo le terne crescenti dispari, perchè finiscono con cifra dispari, sono in tutto 70: tre che finiscono in 3; dieci che finiscono in 5; ventuno che finiscono in 7; trentasei che finiscono in 9.
Ho fatto la controprova: le terne crescenti pari sono effettivamente 50. E $70 + 50$=120
Hai ragione, non ho più tenuto conto che nel primo esercizio le terne crescenti occupano le ultime tre posizioni della cifra generica che è di 8 cifre. Quindi ovvio che ci può essere 0 come prima cifra della terna.
Riguardo l'altro esercizio, sono stato poco chiaro scusami, intendevo quelle terrne che finiscono con un numero dispari. In pratica l'esercizio è uguale al primo solo che chiede espressamente che l'ultimo numero sia dispari. Potresti essere così gentile da spiegarmi come hai fatto ad ottenere 70? Ad esempio, come fai a dire che ci sono 21 terne che finiscono per 7? Intuitivamente vedo che fai 3*1+5*2+7*3+9*4 però che ragionamento fai? Grazie per tutto l'aiuto che mi stai dando!
Riguardo l'altro esercizio, sono stato poco chiaro scusami, intendevo quelle terrne che finiscono con un numero dispari. In pratica l'esercizio è uguale al primo solo che chiede espressamente che l'ultimo numero sia dispari. Potresti essere così gentile da spiegarmi come hai fatto ad ottenere 70? Ad esempio, come fai a dire che ci sono 21 terne che finiscono per 7? Intuitivamente vedo che fai 3*1+5*2+7*3+9*4 però che ragionamento fai? Grazie per tutto l'aiuto che mi stai dando!
Ci sono 21 terne che finiscono per 7, per questi motivi:
a) il 7 ha sette cifre più basse (0-1-2-3-4-5-6);
b) con queste 7 cifre posso formare 42 coppie;
c) divido 42 per 2 ed ottengo 21 (perchè ad esempio c'è la coppia 13 e la coppia 31, una è crescente e l'altra decrescente).
Praticamente C7,2
a) il 7 ha sette cifre più basse (0-1-2-3-4-5-6);
b) con queste 7 cifre posso formare 42 coppie;
c) divido 42 per 2 ed ottengo 21 (perchè ad esempio c'è la coppia 13 e la coppia 31, una è crescente e l'altra decrescente).
Praticamente C7,2
Ho capito perfettamente! grazie mille sei stato di grande aiuto!
Salve ragazzi, per quanto riguarda il primo esercizio, quando calcolate le terne crescenti esistenti perché fate semplicemente le combinazioni semplici? In questo modo non vi combina i numeri anche in modo decrescente?
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