Calcolo Combinatorio
Salve,
volevo proporvi un esercizio di calcolo combinatorio.
Quanti sono i numeri naturali di sette cifre aventi le prime due cifre in forma decrescente e le ultime tre cifre pari? (Ad esempio 7590842, 6218004).
Io so solo che per le due cifre centrali posso utilizzare le disposizioni con ripetizione perchè l'ordine conta e se due cifre sono uguali non ci fa niente.
Poi so che la prima cifra tra le due decrescenti non può mai essere zero.
Per il resto potete darmi una mano?
volevo proporvi un esercizio di calcolo combinatorio.
Quanti sono i numeri naturali di sette cifre aventi le prime due cifre in forma decrescente e le ultime tre cifre pari? (Ad esempio 7590842, 6218004).
Io so solo che per le due cifre centrali posso utilizzare le disposizioni con ripetizione perchè l'ordine conta e se due cifre sono uguali non ci fa niente.
Poi so che la prima cifra tra le due decrescenti non può mai essere zero.
Per il resto potete darmi una mano?
Risposte
Per le prime 2 posizioni hai C10,2 ovvero $45$.
Per la terza e quarta posizione hai $10^2=100$.
Per le ultime 3 posizioni $5^3=125$
Totale $45*100*125=562.500$
Per la terza e quarta posizione hai $10^2=100$.
Per le ultime 3 posizioni $5^3=125$
Totale $45*100*125=562.500$
Ho capito tutto! Perfetto,grazie!
Un'ultima domanda, ho notato che il mio professore a volte per risolvere questi esercizi vuole che costruiamo un sistema e calcoliamo la cardinalità dell'insieme delle soluzioni del sistema. Ma è davvero possibile fare una cosa del genere per questo tipo di esercizi?
Un'ultima domanda, ho notato che il mio professore a volte per risolvere questi esercizi vuole che costruiamo un sistema e calcoliamo la cardinalità dell'insieme delle soluzioni del sistema. Ma è davvero possibile fare una cosa del genere per questo tipo di esercizi?
Mi dispiace.
Ma non so cosa sia un sistema.
E ancora meno cosa sia la "cardinalità di un insieme".......
Ma non so cosa sia un sistema.
E ancora meno cosa sia la "cardinalità di un insieme".......
Tranquillo. Un'ultima perplessità.
Se all'esercizio che ho proposto mettessimo "Quanti sono i numeri naturali dispari (e poi il resto del testo uguale a prima) come dovremmo procedere? Dividendo per due il valore trovato?
Se all'esercizio che ho proposto mettessimo "Quanti sono i numeri naturali dispari (e poi il resto del testo uguale a prima) come dovremmo procedere? Dividendo per due il valore trovato?
Certo che di numeri naturali dispari, con le ultime tre cifre pari, non credo ce ne siano molti.....
Ahahahaa hai ragione. Riscrivo il testo dell'esercizio corretto.
Quanti sono i numeri naturali dispari di 8 cifre aventi le prime due cifre uguali e le ultime tre cifre in forma crescente?
Dobbiamo trovare tutte quelle terne crescenti che hanno come ultima cifra 3,5,7,9. Non può avere 1 sennò non potrebbe essere una terna decrescente, giusto?
Quanti sono i numeri naturali dispari di 8 cifre aventi le prime due cifre uguali e le ultime tre cifre in forma crescente?
Dobbiamo trovare tutte quelle terne crescenti che hanno come ultima cifra 3,5,7,9. Non può avere 1 sennò non potrebbe essere una terna decrescente, giusto?
Mi sa che ti stai ingarbugliando...
Per le prime due posizioni abbiamo $9$ possibilità.
Per le posizioni dalla terza alla quinta $10^3=1.000$ possibilità.
Per le ultime tre posizioni $70$ possibilità.
Totale $9*1.000*70=630.000$.
Ma mi sembra di aver risposto ad un quesito molto simile ieri.....
Per le prime due posizioni abbiamo $9$ possibilità.
Per le posizioni dalla terza alla quinta $10^3=1.000$ possibilità.
Per le ultime tre posizioni $70$ possibilità.
Totale $9*1.000*70=630.000$.
Ma mi sembra di aver risposto ad un quesito molto simile ieri.....
Giusto, grazie mille! Posso proporti un altro esercizio?
Quanti sono i numeri di 6 cifre che contengono 2 volte esatte la cifra 1, 2 volte esatte la cifra 2 e non contengono la cifra 0?
Io ho provato a fare le disposizioni con ripetizione per quanto riguarda le due cifre libere da vincoli e viene 49.
Poi dovrei permutare questi numeri ( i 4 numeri fissi 1,1,2,2 e i 49 numeri liberi da vincoli) nei sei posti disponibili, giusto?
Quanti sono i numeri di 6 cifre che contengono 2 volte esatte la cifra 1, 2 volte esatte la cifra 2 e non contengono la cifra 0?
Io ho provato a fare le disposizioni con ripetizione per quanto riguarda le due cifre libere da vincoli e viene 49.
Poi dovrei permutare questi numeri ( i 4 numeri fissi 1,1,2,2 e i 49 numeri liberi da vincoli) nei sei posti disponibili, giusto?
Io scinderei le 49 coppie libere in due tipologie: 42 in cui le due cifre sono diverse, e 7 in cui le 2 cifre sono uguali.
Dopodichè propongo questa soluzione, sperando che sia esatta:
$(6!)/(2!*2!)*42+(6!)/(2!*2!*2!)*7=180*42+90*7=7.560+630=8.190$
Dopodichè propongo questa soluzione, sperando che sia esatta:
$(6!)/(2!*2!)*42+(6!)/(2!*2!*2!)*7=180*42+90*7=7.560+630=8.190$
Allora la soluzione del libro è 4410. Io col mio ragionamento ottengo 8820 che è esattamente il doppio.
Però secondo me il tuo ragionamento non fa una piega. Perché dividendo le coppie libere in due tipologie quando poi fai la permutazione delle coppie uguali libere giustamente consideri le ripetizioni. Ma allora il risultato del libro è sbagliato?
Però secondo me il tuo ragionamento non fa una piega. Perché dividendo le coppie libere in due tipologie quando poi fai la permutazione delle coppie uguali libere giustamente consideri le ripetizioni. Ma allora il risultato del libro è sbagliato?
Le possibilità sono solo 2: o è sbagliato sul libro, oppure ho sbagliato io.....
Forse non devi dividere le cifre libere in due tipologie. Considerale tutte e poi quando fai le permutazioni dividi ulteriormente per 2! per togliere le coppie xy uguali. Quindi abbiamo 6!/2!2!2!. Moltiplichiamo per 49 e viene 4410.
Il risultato è 4410 e ci si può arrivare così:
$C(6;2)$ modi di scegliere dove vanno le cifre $1$
$C(4;2)$ modi di scegliere dove vanno le cifre $2$
$7^2$ modi di scegliere come sono le due cifre rimanenti.
Moltiplicando tutto viene $4410$
Il ragionamento di superpippone fallisce nel caso che i due numeri liberi siano diversi: ognuno di quelli lo conta due volte.
Ad esempio consideriamo il numero $112234$. Esso viene contato due volte perché:
prima lo conto scegliendo come cifre "libere" $3$ e $4$, e scrivendole in questo ordine.
dopo lo conto scegliendo come cifre "libere" $4$ e $3$ scrivendole nell'ordine inverso.
$C(6;2)$ modi di scegliere dove vanno le cifre $1$
$C(4;2)$ modi di scegliere dove vanno le cifre $2$
$7^2$ modi di scegliere come sono le due cifre rimanenti.
Moltiplicando tutto viene $4410$
Il ragionamento di superpippone fallisce nel caso che i due numeri liberi siano diversi: ognuno di quelli lo conta due volte.
Ad esempio consideriamo il numero $112234$. Esso viene contato due volte perché:
prima lo conto scegliendo come cifre "libere" $3$ e $4$, e scrivendole in questo ordine.
dopo lo conto scegliendo come cifre "libere" $4$ e $3$ scrivendole nell'ordine inverso.
Si, mi scuso.
Pensandoci ieri sera mi ero accorto di avere sbagliato.
In effetti, ad esempio, consideravo la diverse le coppie 1-3 e 3-1, per poi contarle un'altra volta nelle permutazioni.
Ogni tanto, ho sensazioni di onnipotenza......
Avrei dovuto fare $(6!)/(2!*2!)*21+(6!)/(2!*2!*2!)*7=180*21+90*7=3.780+630=4.410$
Ma forse è un po' troppo ingarbugliato.....
Pensandoci ieri sera mi ero accorto di avere sbagliato.
In effetti, ad esempio, consideravo la diverse le coppie 1-3 e 3-1, per poi contarle un'altra volta nelle permutazioni.
Ogni tanto, ho sensazioni di onnipotenza......
Avrei dovuto fare $(6!)/(2!*2!)*21+(6!)/(2!*2!*2!)*7=180*21+90*7=3.780+630=4.410$
Ma forse è un po' troppo ingarbugliato.....
"milizia96":
Il risultato è 4410 e ci si può arrivare così:
$C(6;2)$ modi di scegliere dove vanno le cifre $1$
$C(4;2)$ modi di scegliere dove vanno le cifre $2$
$7^2$ modi di scegliere come sono le due cifre rimanenti.
Moltiplicando tutto viene $4410$
.
Non riesco a capire questa risposta per la domanda "Quanti sono i numeri di 6 cifre che contengono 2 volte esatte la cifra 1, 2 volte esatte la cifra 2 e non contengono la cifra 0?"
in particolare
$C(4;2)$ modi di scegliere dove vanno le cifre $2$
$7^2$ modi di scegliere come sono le due cifre rimanenti.
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