Calcolo centralizzante e normalizzatore di una permutazione in $S_10$
Ciao! 
Sto cercando di risolvere il seguente esercizio:
Calcolare il centralizzante e il normalizzatore di $\sigma = (1, 2, 3)(4, 5, 6)(7,8)(9, 10) \in S_10$.
Tentativo di soluzione: per trovare la cardinalità del centralizzante calcolo la cardinalità della classe di coniugio di $\sigma$, cioè conto gli elementi che hanno la stessa struttura di $\sigma$: ce ne dovrebbero essere \(\displaystyle \binom{10}{3}\frac{3!}{3}\binom{7}{3}\frac{3!}{3}\frac{1}{2}\binom{4}{2}\frac{1}{2} = \frac{10!}{2^2 * 3^2 * 2! 2!} = \frac{10!}{2^4 * 3^2} \), da cui segue che $|cl(\sigma)| = \frac{|S_10|}{|C(\sigma)|} = \frac{10!}{2^4 3^2} \rightarrow |C(\sigma)| = 2^4 3^2$.
Primo problema: come descrivo il centralizzante? Sicuramente contiene il sottogruppo $< <(1,2,3)>, < (4,5,6)>, <(7, 8)>, <(9, 10)> >$, tuttavia ha necessariamente altri elementi per questioni di cardinalità. Non riesco a individuare tali elementi, qualche consiglio?
Passiamo a calcolo della cardinalità del normalizzante, so che $N()//C()$ è isomorfo a un sottogruppo di $Aut()$, adesso: $\sigma$ ha ordine $6$ quindi $$ è isomorfo a $\mathbb{Z_6}$(è un gruppo ciclico), per cui $Aut()$ è isomorfo a $Aut(\mathbb{Z_6})$ che è isomorfo a $\mathbb{Z_6}^**$ che ha cardinalità $\phi(6) = 2$ ed è quindi isomorfo a $\mathbb{Z_2}$.
Dunque o $|N()| = 2*|C()|$ o $N() = C()$, per procedere penso mi serva una descrizione del centralizzante, altrimenti non so come far fuori una delle due opzioni.
Grazie per l'aiuto!
Sto cercando di risolvere il seguente esercizio:
Calcolare il centralizzante e il normalizzatore di $\sigma = (1, 2, 3)(4, 5, 6)(7,8)(9, 10) \in S_10$.
Tentativo di soluzione: per trovare la cardinalità del centralizzante calcolo la cardinalità della classe di coniugio di $\sigma$, cioè conto gli elementi che hanno la stessa struttura di $\sigma$: ce ne dovrebbero essere \(\displaystyle \binom{10}{3}\frac{3!}{3}\binom{7}{3}\frac{3!}{3}\frac{1}{2}\binom{4}{2}\frac{1}{2} = \frac{10!}{2^2 * 3^2 * 2! 2!} = \frac{10!}{2^4 * 3^2} \), da cui segue che $|cl(\sigma)| = \frac{|S_10|}{|C(\sigma)|} = \frac{10!}{2^4 3^2} \rightarrow |C(\sigma)| = 2^4 3^2$.
Primo problema: come descrivo il centralizzante? Sicuramente contiene il sottogruppo $< <(1,2,3)>, < (4,5,6)>, <(7, 8)>, <(9, 10)> >$, tuttavia ha necessariamente altri elementi per questioni di cardinalità. Non riesco a individuare tali elementi, qualche consiglio?
Passiamo a calcolo della cardinalità del normalizzante, so che $N(
Dunque o $|N(
Grazie per l'aiuto!
Risposte
Sei sicuro che i conti siano corretti?
Mi sa che conti $(1,2,3) (4,5,6)$ come se fosse distinto da $(4,5,6)(1,2,3)$.
Comunque, come hai giustamente osservato i sottogruppi generati dai 4 cicli sono nel centralizzante. Il sottogruppo generato da quei 4 cicli disgiunti ha ordine $3^2 2^2$. Osserva che una permutazione che scambia i due $3$-cicli e' nel centralizzante (e ce ne sono un po'); in modo simile, una permutazione che scambia i due $2$-cicli e' nel centralizzante.
Il conto del normalizzante e' corretto direi. Il centralizzante ha indice al piu' $2$ nel normalizzante. Quindi ti basta trovare un elemento di $S_{10}$ che applicato a $\sigma$ ti da' l'unico altro elemento di $\langle \sigma \rangle$ che ha lo stesso tipo ciclico di $\sigma$. Hint: Cosa succede coniugando un $3$-ciclo di $S_3$ per un $2$-ciclo di $S_3$?
Mi sa che conti $(1,2,3) (4,5,6)$ come se fosse distinto da $(4,5,6)(1,2,3)$.
Comunque, come hai giustamente osservato i sottogruppi generati dai 4 cicli sono nel centralizzante. Il sottogruppo generato da quei 4 cicli disgiunti ha ordine $3^2 2^2$. Osserva che una permutazione che scambia i due $3$-cicli e' nel centralizzante (e ce ne sono un po'); in modo simile, una permutazione che scambia i due $2$-cicli e' nel centralizzante.
Il conto del normalizzante e' corretto direi. Il centralizzante ha indice al piu' $2$ nel normalizzante. Quindi ti basta trovare un elemento di $S_{10}$ che applicato a $\sigma$ ti da' l'unico altro elemento di $\langle \sigma \rangle$ che ha lo stesso tipo ciclico di $\sigma$. Hint: Cosa succede coniugando un $3$-ciclo di $S_3$ per un $2$-ciclo di $S_3$?
Ciao! Grazie per la risposta
Non vado forte in combinatoria ma ho diviso per due sia quando conto un doppio 3-ciclo che quando conto una doppia coppia e quindi non dovrei contarli come permutazioni distinte, sbaglio?
Ho anche controllato il risultato con la formula magica e dovrebbe tornare: la struttura ciclica di $\sigma$ è $[0, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]$(cioè è composta da due trasposizioni e due 3-cicli), da cui: $\frac{10!}{(2! 2^2)(3^2 2!)} = \frac{10!}{2^4 3^2}$
Uh capito, sì mi torna!
Dunque il centralizzante dovrebbe essere $C(\sigma) = < < <(1,2,3)>, < (4,5,6)>, <(7, 8)>, <(9, 10)>, <(14)(25)(36)>, <(79)(8 10)> >$ e anche come cardinalità dovremmo esserci visto che i sottogruppi hanno intersezione banale.
Lo manda nel suo inverso!
Quindi basta mandare $\sigma$ in $\sigma^(-1)$ e una dovrebbe esser $\tau = (12)(45)$, infatti $\tau \sigma \tau^-1 = (132) ( 4 6 5)(7 8) (9 10) = \sigma^-1$.
Quindi il centralizzante ha indice $2$ nel normalizzante perché l'applicazione $\phi: N() \to Aut()$ così definita: $\gamma \to \varphi_{\gamma}(\sigma) = \gamma \sigma \gamma^-1$ è non banale in quanto $\phi( \tau) = \varphi_{\tau}$ manda $\sigma$ in $\sigma^-1$.
Inoltre $N() = < , <\tau> >$. Che dici?
"Pappappero":
Sei sicuro che i conti siano corretti?
Mi sa che conti $(1,2,3) (4,5,6)$ come se fosse distinto da $(4,5,6)(1,2,3)$.
Non vado forte in combinatoria ma ho diviso per due sia quando conto un doppio 3-ciclo che quando conto una doppia coppia e quindi non dovrei contarli come permutazioni distinte, sbaglio?
Ho anche controllato il risultato con la formula magica e dovrebbe tornare: la struttura ciclica di $\sigma$ è $[0, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]$(cioè è composta da due trasposizioni e due 3-cicli), da cui: $\frac{10!}{(2! 2^2)(3^2 2!)} = \frac{10!}{2^4 3^2}$
Comunque, come hai giustamente osservato i sottogruppi generati dai 4 cicli sono nel centralizzante. Il sottogruppo generato da quei 4 cicli disgiunti ha ordine $3^2 2^2$. Osserva che una permutazione che scambia i due $3$-cicli e' nel centralizzante (e ce ne sono un po'); in modo simile, una permutazione che scambia i due $2$-cicli e' nel centralizzante.
Uh capito, sì mi torna!
Dunque il centralizzante dovrebbe essere $C(\sigma) = < < <(1,2,3)>, < (4,5,6)>, <(7, 8)>, <(9, 10)>, <(14)(25)(36)>, <(79)(8 10)> >$ e anche come cardinalità dovremmo esserci visto che i sottogruppi hanno intersezione banale.
Il conto del normalizzante e' corretto direi. Il centralizzante ha indice al piu' $2$ nel normalizzante. Quindi ti basta trovare un elemento di $S_{10}$ che applicato a $\sigma$ ti da' l'unico altro elemento di $\langle \sigma \rangle$ che ha lo stesso tipo ciclico di $\sigma$. Hint: Cosa succede coniugando un $3$-ciclo di $S_3$ per un $2$-ciclo di $S_3$?
Lo manda nel suo inverso!
Quindi basta mandare $\sigma$ in $\sigma^(-1)$ e una dovrebbe esser $\tau = (12)(45)$, infatti $\tau \sigma \tau^-1 = (132) ( 4 6 5)(7 8) (9 10) = \sigma^-1$.
Quindi il centralizzante ha indice $2$ nel normalizzante perché l'applicazione $\phi: N(
Inoltre $N(
Funziona!
C'e' una cosa che non mi torna, ed e' il motivo per cui ti avevo chiesto se eri sicuro del conto. Mi trovavo altri elementi nel centralizzante e non vedevo come ottenerli da quelli che gia' avevi. Ad esempio il $6$-ciclo $(1,4,2,5,3,6)$ centralizza $\sigma$ e non e' immediato (anche se scritto cosi' lo vedo meglio) che sia generato dagli elementi che consideri.
Pero' si'...non avevo visto gli $1/2$ nella formula e mi torna che quello sia proprio il numero di coniugati di $\sigma$. Quindi, a meno di qualche errore nelle intersezioni tra tutti quei ciclici, mi torna che sia generato dalle permutazioni che hai scritto.
C'e' una cosa che non mi torna, ed e' il motivo per cui ti avevo chiesto se eri sicuro del conto. Mi trovavo altri elementi nel centralizzante e non vedevo come ottenerli da quelli che gia' avevi. Ad esempio il $6$-ciclo $(1,4,2,5,3,6)$ centralizza $\sigma$ e non e' immediato (anche se scritto cosi' lo vedo meglio) che sia generato dagli elementi che consideri.
Pero' si'...non avevo visto gli $1/2$ nella formula e mi torna che quello sia proprio il numero di coniugati di $\sigma$. Quindi, a meno di qualche errore nelle intersezioni tra tutti quei ciclici, mi torna che sia generato dalle permutazioni che hai scritto.
Perfetto, grazie! 
E se volessi scrivere il centralizzante e il normalizzatore come prodotti semidiretti?
Nel primo caso noto che $H = <(1,2,3)>, < (4,5,6)>, <(7, 8)>, <(9, 10)>, <(14)(25)(36)>$ ha indice $2$ in $ C(\sigma)$, inoltre $K = <(79)(8 10)>$ ha intersezione banale con $H$ e $|C(\tau)| = |HK|$ dunque esiste $\phi: K \to Aut(H)$ tale che $C(\sigma) = H \rtimes_{\phi} K$. Che dici, va bene?
Per il normalizzatore bene o male è la stessa cosa: $C(\sigma)$ \( \lhd \) $N(<\tau>)$, $<\tau> < N(<\sigma>)$, $C(\sigma) nn <\tau> = {id}$ e $|N(<\sigma>)| = |C(\sigma)*<\tau>|$ quindi esiste $\phi:<\tau> \to C(\sigma)$ tale che $N(<\sigma>) = C(\sigma) \rtimes_{\phi} <\tau>$.
E se volessi scrivere il centralizzante e il normalizzatore come prodotti semidiretti?
Nel primo caso noto che $H = <(1,2,3)>, < (4,5,6)>, <(7, 8)>, <(9, 10)>, <(14)(25)(36)>$ ha indice $2$ in $ C(\sigma)$, inoltre $K = <(79)(8 10)>$ ha intersezione banale con $H$ e $|C(\tau)| = |HK|$ dunque esiste $\phi: K \to Aut(H)$ tale che $C(\sigma) = H \rtimes_{\phi} K$. Che dici, va bene?
Per il normalizzatore bene o male è la stessa cosa: $C(\sigma)$ \( \lhd \) $N(<\tau>)$, $<\tau> < N(<\sigma>)$, $C(\sigma) nn <\tau> = {id}$ e $|N(<\sigma>)| = |C(\sigma)*<\tau>|$ quindi esiste $\phi:<\tau> \to C(\sigma)$ tale che $N(<\sigma>) = C(\sigma) \rtimes_{\phi} <\tau>$.
Puoi anche osservare la struttura di $H$. In il ruolo che $(1,4)(2,5)(,3,6)$ ha rispetto al prodotto dei due $3$-cicli e' lo stesso di $(7,9)(8,10)$ rispetto al prodotto dei due $2$-cicli. Quindi scriverei
$$
C(\sigma) = ((\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3) \rtimes \mathbb{Z}_2) \times ((\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2) \rtimes \mathbb{Z}_2)
$$
dove gli $\mathbb{Z}_2$ esterni scambiano i due fattori su cu agiscono.
Per il normalizzante, puoi osservare che $\tau$ agisce in effetti solo sui $3$-cicli, e quindi otteniamo qualcosa tipo
$$
N(\sigma) = ((\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3) \rtimes (\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)) \times ((\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2) \rtimes \mathbb{Z}_2)
$$
dove lo $\mathbb{Z}_2$ aggiuntivo agisce invertendo entrambi i termini di $\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3$.
Non son sicuro di aver preso in considerazione tutta la struttura.
$$
C(\sigma) = ((\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3) \rtimes \mathbb{Z}_2) \times ((\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2) \rtimes \mathbb{Z}_2)
$$
dove gli $\mathbb{Z}_2$ esterni scambiano i due fattori su cu agiscono.
Per il normalizzante, puoi osservare che $\tau$ agisce in effetti solo sui $3$-cicli, e quindi otteniamo qualcosa tipo
$$
N(\sigma) = ((\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3) \rtimes (\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)) \times ((\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2) \rtimes \mathbb{Z}_2)
$$
dove lo $\mathbb{Z}_2$ aggiuntivo agisce invertendo entrambi i termini di $\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3$.
Non son sicuro di aver preso in considerazione tutta la struttura.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo