Calcoli con radici primitive dell'unità
Il problema è il seguente:
Se $\alpha$ è una radice primitiva n esima dell'unità in $\mathbb{F}_{2^m}$
e considero il prodotto $(\alpha^i-\alpha^0)...(\alpha^i-\alpha^{i-1})(\alpha^i-\alpha^{i+1})...(\alpha^i-\alpha^{n-1}),\ \ $ (*)
vorrei poter dire che fa $\alpha^{-i}$
Quel che ho pensato io è che [usando la relazione opportuna, tipo per $\alpha$ radice 7a dell'unità in $\mathbb{F}_{2^3}$ uso la relazione $\alpha^3=\alpha+1$]
(*) diventa il prodotto degli $\alpha^j$ con $j=0,1,...,i-1,i+1,...,n-1$, e quindi $=\alpha^{n\frac{n-1}{2}-i}$
secondo me se n è dispari allora ok, perchè $\frac{n-1}{2}$ è intero e so che $\alpha^{kn}=1$ per ogni k intero perchè $\alpha$ radice primitiva n esima dell'unità.. è giusto? ma in generale come faccio?
Grazie mille a tutti!
Se $\alpha$ è una radice primitiva n esima dell'unità in $\mathbb{F}_{2^m}$
e considero il prodotto $(\alpha^i-\alpha^0)...(\alpha^i-\alpha^{i-1})(\alpha^i-\alpha^{i+1})...(\alpha^i-\alpha^{n-1}),\ \ $ (*)
vorrei poter dire che fa $\alpha^{-i}$
Quel che ho pensato io è che [usando la relazione opportuna, tipo per $\alpha$ radice 7a dell'unità in $\mathbb{F}_{2^3}$ uso la relazione $\alpha^3=\alpha+1$]
(*) diventa il prodotto degli $\alpha^j$ con $j=0,1,...,i-1,i+1,...,n-1$, e quindi $=\alpha^{n\frac{n-1}{2}-i}$
secondo me se n è dispari allora ok, perchè $\frac{n-1}{2}$ è intero e so che $\alpha^{kn}=1$ per ogni k intero perchè $\alpha$ radice primitiva n esima dell'unità.. è giusto? ma in generale come faccio?
Grazie mille a tutti!
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