Calcolare l'inverso in un anello.

[BerryLydon]

Ciao a tutti ho un dubbio 2 esercizi:
Con questo esercizio:
Sia (A,+,*) con A=Z₁₂

Determinare l'inverso di: [5]^-1 + [6] * [3].

L'inverso si [5]^-1 dovrebbe essere [2] visto che 5^2=25 e 25 congruo 1 mod 12, essendo 1 el. neutro?

Con quest'altro: (ho la soluzione ma vorrei sapere il perchè)
(Z₃ x Z₅, +, *)
(Z₃,+,*)(Z₅,+,*)
∀ (a,b),(c,d) \in Z₃ x Z₅
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
(a,b)*(c,d)=(a*c,b*d)

Calcolare ([2]₃ , [2]₅)^-1 - ([1]₃ , [4]₅)

Il problema è la prima parentesi.
Quando devo trovare l'inverso devo trovarlo moltiplicativamente o additivamente.
Ovvero trovare x congruo 0 mod 3 oppure x congruo 1 mod 3.

La soluzione è: ([2]₃ , [2]₅)^-1 = ([2]₃ , [3]₅). Il primo sembrerebbe moltiplicativamente (el. neutro 1) 2^2=4 congruo 1 mod 3. mentre il secondo ???
Ma poi qual è la regola? con 2 anelli in cui viene applicato il prodotto cartesiano?
Spero mi aiutate... forse sto dicendo cavolate ma spero di risolvere la confusione. Ho l'esame a breve.
Grazie a tutti!

[dan952]

L'inverso di $[5]_{12}$ è se stesso infatti $5 \cdot 5 -= 1 \mod 12$, in generale sia $a \in U(ZZ_n)$ (gruppo degli invertibili di $ZZ_n$) quindi $a^{-1}$ è semplicemente l'elemento di $U(ZZ_n)$ se esiste (cioè se $a$ è invertibile) tale che $a^{-1}a -= 1 \ mod n$. Nel caso $ZZ_n ×ZZ_m$ si ha $([a]_{n},_{m})^{-1}$ è l'elemento di $U(ZZ_n)×U(ZZ_n)$ se esiste tale che $([a]_{n},_{m})^{-1}([a]_{n},_{m})=([1]_{n},[1]_{m})$ rispetto a come abbiamo definito il prodotto.