Calcolare il numero di Nepero con 50 o piu cifre decimali ?

[xproject-zerox]

come si fa ?

[Lord K]

Ricordandosi la definizione di limite, per esempio,

$lim_(x rightarrow oo) (1+1/x)^x = e$

e considerando $epsilon=10^(-50)$

[xproject-zerox]

scusa penso di non aver capito
per la definizione al limite ok ci siamo ma epsilon a cosa mi serve?

considera che la mia calcolatrice è a 10 cifre quindi come si potrebbe fare?

[Lord K]

La definizione di limite (in questo caso) dice:

"Per ogni $epsilon>0$ esiste $M>0$ tale che dall'essere $|x|>M$ discende che $|(1+1/x)^x - e|
Quello che tu dovresti fare è valutare la disequazione:

$|(1+1/x)^x - e|<10^-tau$ dove $tau$ sono le cifre significative che ti interessano.

Ovvero dovresti trovare l'$M$ della definizione che permette il tutto.

La disequazione non è risolvibile direttamente, ma puoi provare con valori di M via via più grandi per avere le cifre che ti interessano.

[Lord K]

Dammi un pochetto per valutare come procedere poi con la calcolatrice!

[xproject-zerox]

ok thanks

[Conte_De_Saint_venant]

Ma scusa se lui $ e $ lo deve calcolare come lo fa ad usare? ci sno due icognite là dentro? ti propongo un altro metodo, dammi tempo che scrivo.

[maurer]

Bé, riprendo quello che ho già detto in un altro post...
Si può usare una serie convergente ad $e$: si dimostra abbastanza facilmente che $lim_{x \to \infty}(1+1/x)^x=sum_{i=0}^\infty 1/(k_i!)$. Di conseguenza basterebbe in teoria risolvere la disequazione $1/(k_n!)<10^50$ e poi calcolare la sommatoria per i che va da 0 a n... Detto così non sembra difficile, ma io quella disequazione, se non forse per via numerica, non saprei proprio risolverla...

[Conte_De_Saint_venant]

Guarda puoi usare i metodo dicotomico per la soluzione di un equazione che abbia come incognita e....ad esempio ln(x)-1=0. In questo metodo l'errore può essere maggiorato e puoi mettere tu quanto vuoi.

Ma non credo troverai un computer che lavori con 50 cifre decimali..... ad esmpio in matlab il più piccolo numero che può essere considerato è:
2.220446049250313*10 ^-016....figuriamoci se può farlo una calcolatrice

Bisogna trovare qualcos'altro....ora non ho proprio tempo per pensarci ma s qualcuno propone sono pronto a discuterne....


P.S. forse neanch eil metodo sopra va bene perchè per fare logaritmo in base e dovresti conoscere gia il numero d nepero.... sarebbe opportuno ottenerlo come limite della successione notevole.....dai ci penso appena mi vinee in mente ti dico.

[Conte_De_Saint_venant]

ti invio un articolo uscito su matematicamente che tratta proprio il problema da te chiesto:
https://www.matematicamente.it/approfond ... 709051481/

ciao

[Lord K]

"Conte_De_Saint_venant":Ma scusa se lui $ e $ lo deve calcolare come lo fa ad usare? ci sno due icognite là dentro? ti propongo un altro metodo, dammi tempo che scrivo.

Il metodo è dare un valore a $M$ per esempio $10^10$ e calcolare il valore di:

$(1+10^(-10))^(10^10)$

e questo è circa $e$, o meglio è il valore approssimato di $e$ che in una calcolatrice con 10 decimali esce.

[Conte_De_Saint_venant]

"Lord K":La definizione di limite (in questo caso) dice:

"Per ogni $epsilon>0$ esiste $M>0$ tale che dall'essere $|x|>M$ discende che $|(1+1/x)^x - e|
Quello che tu dovresti fare è valutare la disequazione:

$|(1+1/x)^x - e|<10^-tau$ dove $tau$ sono le cifre significative che ti interessano.

Ovvero dovresti trovare l'$M$ della definizione che permette il tutto.

La disequazione non è risolvibile direttamente, ma puoi provare con valori di M via via più grandi per avere le cifre che ti interessano.

Sono d'accordo con il procedimento usato, non era chiarissimo prima.

Ciao

[xproject-zerox]

scusa ho provato a fare come dici ma sulla calcolatrice mi compare per M=10:
2.718281828

per M=15 invece la mia bellissima calcolatrice mi da come risultato 1

a me servirebbero anche le altre cifre decimali ( in realta mi servirebbe sapere fino alla 110esima (centodieciesima) cifra decimale )

[Lord K]

Immagino che sia così infatti $10^(-15)$ se hai 10 decimali è indenticamente uguale a zero!

[xproject-zerox]

si infatti per questo viene 1

quindi non c'e' un modo per sapere le prime 110 cifre decimali con un normale computer o calcolatrice?

[Conte_De_Saint_venant]

ma scusa ti h mandato il link in cui è spiegato benissimo. L'hai guardato? O attendi che qualcno ti spieghi tutto? Cioè un pò di sforzo dovresti farlo anche tu.
Leggiti il pdf c'è ua tecnica che puoi arrivare a 1100 cifre....o dovremmo leggerlo noi per te e spiegartelo.

Forza....

[xproject-zerox]

pardon non avevo visto il link
grazie

[Conte_De_Saint_venant]

Di nulla.