Borsa Indam [special.] 2006 $|G|=2n+1 \implies g=h^2$

[Steven11]

Sia [tex]$(G,*)$[/tex] un gruppo finito di ordine dispari.
Dimostrare che allora ogni elemento del gruppo è un quadrato, cioè per ogni [tex]$g\in G$[/tex] esiste un [tex]$h\in G$[/tex] tale che
[tex]$g=h*h$[/tex]

Ciao a tutti. Come leggete, è un esercizio capitato nella prova per la borsa Indam del 2006 per la specialistica
http://www.altamatematica.it/pdf/Prove% ... istica.pdf (ultimo problema).

Volevo appunto proporvelo, anche perché la soluzione più ovvia (suggeritami dal mio professore) è disarmante come brevità (oltre che totalmente elementare), a differenza di quella mia piuttosto fuori luogo a fronte della prima.
Conoscendo la soluzione, è un problema che propongo a chi vuole cimentarsi.

Anche perché in seguito conto di discutere sulla generalizzazione, su cui avrei un paio di domandine.

Buon lavoro!

[NightKnight1]

Beh, $g= 1 g = g^{2n+1} g = g^{2n+2} = (g^{n+1})^2$

[Martino]

Esisteva già:

https://www.matematicamente.it/forum/gru ... ht=dispari

[vict85]

Comunque personalmente mi lascia perplesso che un esercizio così conosciuto, relativamente semplice e breve valga 9 punti, come esercizi molto più lunghi e, forse, difficili. Per me sicuramente lo saranno ma io mi occupo di gruppi e quindi...