\(\bigotimes_{i=1}^r M_i\otimes\bigotimes_{i=r+1}^{r+s} M_i \) e \(\bigotimes_{i=1}^{r+s}M_i\)
Ciao, amici! Se $M_1,..,M_r,M_{r+1},...,M_{r+s}$ sono $r+s$ $R$-moduli ho l'impressione che \((\bigotimes_{i=1}^r M_i)\otimes(\bigotimes_{i=r+1}^{r+s} M_i )\) sia un loro prodotto tensoriale su $R$, dove intendo $R$ come un anello commutativo, ché, anche se so che esistono prodotti tensoriali secondo una definizione più generale, il mio testo non tratta praticamente di anelli non commutativi. Corretto?
Chiamo \(\bigotimes_{i=1}^{r}M_i\) con l'applicazione multilineare $\tau'$ il prodotto tensoriale di $M_{r+1},...,M_{r+s}$ su $R$ e \(\bigotimes_{i=r+1}^{r+s}M_i\) con l'applicazione multilineare $\tau''$ il prodotto tensoriale di $M_{r+1},...,M_{r+s}$ su $R$.
Per provarlo ho pensato che, per la proprietà universale del prodotto tensoriale, per ogni applicazione multilineare \(\Phi:\prod_{i=1}^{r+s} M_i\to E\) dove $E$ è un $R$-modulo, esiste, fissati nell'argomento di \(\Phi(x_1,...,x_r,...,x_{r+s})\) gli elementi $x_1,...,x_r$, una ed una sola applicazione $R$-lineare \(\varphi'':\bigotimes_{i=r+1}^{r+s}M_i\to E\) tale che \(\varphi''\circ\tau''=\Phi(x_1,...,x_r,-,...,-)\) (mi scuso per la notazione che non so quanto sia ortodossa, ma credo che si capisca che cosa intendo) ed allo stesso modo, fissata l'$s$-upla \((x_{r+1},...,x_{r+s})\in\prod_{i=r+1}^{r+s} M_i\), esiste una ed una sola applicazione $R$-lineare \(\varphi':\bigotimes_{i=1}^{r}M_i\to E\) tale che \(\varphi'\circ\tau'=\Phi(-,...,-,x_{r+1},...,x_{r+s})\).
Ho l'impressione intuitiva che si possa definire grazie a \(\varphi'\) e \(\varphi''\) un'applicazione bilineare \(\psi:\bigotimes_{i=1}^r M_i\times\bigotimes_{i=r+1}^{r+s} M_i\to E\) tale che \(\psi(\tau'(-),\tau''(-))=\Phi\), ma non saprei come formalizzare la cosa...
Definita una tale applicazione mi sembra piuttosto immediato vedere che, chiamata \(\tau:\bigotimes_{i=1}^r M_i\times\bigotimes_{i=r+1}^{r+s} M_i\to (\bigotimes_{i=1}^r M_i)\otimes(\bigotimes_{i=r+1}^{r+s} M_i)\) l'applicazione bilineare associata al prodotto tensoriale dei due moduli \(\bigotimes_{i=1}^r M_i\) e \(\bigotimes_{i=r+1}^{r+s} M_i\) su $R$, l'applicazione multilineare \(\tau(\tau'(-),\tau''(-)):\prod_{i=1}^r M_i\times\prod_{r+1}^{r+s}M_i\to(\bigotimes_{i=1}^r M_i)\otimes(\bigotimes_{i=r+1}^{r+s} M_i) \) ottenuta per composizione soddisfa con il proprio codominio la definizione di prodotto tensoriale.
Qualcuno saprebbe aiutarmi a definire tramite \(\varphi'\) e \(\varphi''\) questa $\psi$?
$\infty$ grazie a tutti!!!
Chiamo \(\bigotimes_{i=1}^{r}M_i\) con l'applicazione multilineare $\tau'$ il prodotto tensoriale di $M_{r+1},...,M_{r+s}$ su $R$ e \(\bigotimes_{i=r+1}^{r+s}M_i\) con l'applicazione multilineare $\tau''$ il prodotto tensoriale di $M_{r+1},...,M_{r+s}$ su $R$.
Per provarlo ho pensato che, per la proprietà universale del prodotto tensoriale, per ogni applicazione multilineare \(\Phi:\prod_{i=1}^{r+s} M_i\to E\) dove $E$ è un $R$-modulo, esiste, fissati nell'argomento di \(\Phi(x_1,...,x_r,...,x_{r+s})\) gli elementi $x_1,...,x_r$, una ed una sola applicazione $R$-lineare \(\varphi'':\bigotimes_{i=r+1}^{r+s}M_i\to E\) tale che \(\varphi''\circ\tau''=\Phi(x_1,...,x_r,-,...,-)\) (mi scuso per la notazione che non so quanto sia ortodossa, ma credo che si capisca che cosa intendo) ed allo stesso modo, fissata l'$s$-upla \((x_{r+1},...,x_{r+s})\in\prod_{i=r+1}^{r+s} M_i\), esiste una ed una sola applicazione $R$-lineare \(\varphi':\bigotimes_{i=1}^{r}M_i\to E\) tale che \(\varphi'\circ\tau'=\Phi(-,...,-,x_{r+1},...,x_{r+s})\).
Ho l'impressione intuitiva che si possa definire grazie a \(\varphi'\) e \(\varphi''\) un'applicazione bilineare \(\psi:\bigotimes_{i=1}^r M_i\times\bigotimes_{i=r+1}^{r+s} M_i\to E\) tale che \(\psi(\tau'(-),\tau''(-))=\Phi\), ma non saprei come formalizzare la cosa...
Definita una tale applicazione mi sembra piuttosto immediato vedere che, chiamata \(\tau:\bigotimes_{i=1}^r M_i\times\bigotimes_{i=r+1}^{r+s} M_i\to (\bigotimes_{i=1}^r M_i)\otimes(\bigotimes_{i=r+1}^{r+s} M_i)\) l'applicazione bilineare associata al prodotto tensoriale dei due moduli \(\bigotimes_{i=1}^r M_i\) e \(\bigotimes_{i=r+1}^{r+s} M_i\) su $R$, l'applicazione multilineare \(\tau(\tau'(-),\tau''(-)):\prod_{i=1}^r M_i\times\prod_{r+1}^{r+s}M_i\to(\bigotimes_{i=1}^r M_i)\otimes(\bigotimes_{i=r+1}^{r+s} M_i) \) ottenuta per composizione soddisfa con il proprio codominio la definizione di prodotto tensoriale.
Qualcuno saprebbe aiutarmi a definire tramite \(\varphi'\) e \(\varphi''\) questa $\psi$?
$\infty$ grazie a tutti!!!
Risposte
La proprietà universale galattica dei prodotti tensoriali mi viene in aiuto e mi evita (fortunatamente) di leggere la sleppa di simboli che hai scritto.
Cos'è il prodotto tensoriale di un numero arbitrario, ma finito, di moduli \(\{M_1,\dots, M_n\}\) su un anello commuativo e unitario $R$? Semplice: è un rappresentante per il funtore che manda \(W\in\mathbf{Mod}(R)\) in \(\text{Mult}(M_1\times\dots\times M_n,W)\), ovvero, scelta una parentesizzazione \(\wp\) degli $n$ fattori, un oggetto \(T_{M_1, \dots, M_n, \wp}\) tale che ogni applicazione multilineare da \(M_1\times\dots\times M_n\) a \(W\) si scriva come una applicazione lineare $T\to W$. In altre parole si ha l'isomorfismo di $r$_moduli
\[
\text{Mult}(M_1\times\dots\times M_n,W)\cong \hom_R(T_{M_1, \dots, M_n}, W)
\]
in maniera naturale in tutti i suoi argomenti. Le vicissitudini della vita ti portano a denotare \(T_{M_1, \dots, M_n, \wp}\) con un nome leggermente più adeguato, ovvero \((M_1\otimes M_2\otimes\dots\otimes M_n)_\wp\), dove con questa scrittura intendo che hai parentesizzato il prodotto tensore secondo la regola \(\wp\). D'altra parte sai due cose, ora:
1. Quando esiste, un rappresentante è unico a meno di un unico isomorfismo (sostanzialmente, questo è il lemma di Yoneda sotto il suo consueto abito da ninja);
2. Il prodotto cartesiano, in qualsiasi categoria che li ammetta, è associativo a meno di isomorfismo, sicché sai che per qualsiasi coppia di parentesizzazioni tu possa scegliere a livello dei fattori nel prodotto cartesiano, diciamo \(\wp(M_1,\dots, M_n), \wp'(M_1,\dots M_n)\)[1], i due funtori \(\text{Mult}(\wp(M_1,\dots M_n),-)\) e \(\text{Mult}(\wp'(M_1,\dots M_n),-)\) sono isomorfi, dunque devono esserlo i rispettivi rappresentanti. Fine della storia: qualsiasi parentesizzazione degli $n$ fattori è isomorfa a qualsiasi altra, per cui sei autorizzato a scrivere senza ambiguità \(M_1\otimes \dots\otimes M_n\).
Ora vorrei proporti un esercizio su questa falsariga, che astrae leggermente quanto ti ho detto e te lo fa vedere da un punto di vista più intrinseco:
La seconda cosa che voglio proporti è una riflessione cui penso da molti mesi:
Sia $M_i, i \in I$ una famiglia arbitraria di moduli sullo stesso anello commutativo e unitario. Il loro prodotto tensoriale \(\bigotimes_{i \in I} M_i\) si può definire sfruttando la stessa relazione di prima, cioè come un rappresentante del funtore \(\text{Mult}\Big(\prod_{i \in I} M_i,-\Big)\). Ciò si traduce nella presenza di una mappa $I$-multilineare universale \(\otimes : \prod_{i \in I} M_i \to \bigotimes_{i \in I} M_i\) che soddisfa le stesse proprietà formali del caso finito.
In generale, però, è estremamente difficile descrivere questa struttura: per esempio, se l'anello di base è un campo, quindi lavoriamo con spazi vettoriali, il semplice prodotto numerabile \(K \otimes_K \otimes_K ...\) ha dimensione \(|K^\times|^{\aleph_0}\) e diventa difficile persino scrivere una base di questo spazio (il punto determinante è: l'oggetto esiste per puro formal-nonsense categoriale, però è impossibile esibire un rappresentante canonico come si faceva nel caso finito, perché quozientare il modulo libero $R^{X}$ rispetto a quella mole di relazioni che impongono la multilinearità non è un'operazione lecita[2]). Per esempio in \(K \otimes_K \otimes_K ...\), dovremmo avere $x_1 \otimes x_2 \otimes ... = y_1 \otimes y_2 \otimes ...$ iff $x_i = y_i$ per ogni $i$ tranne un numero finito, e per i restanti $\prod_i x_i = \prod_i y_i$.
Provare proprietà che nel caso finito sono semplici conseguenze della rappresentabilità diventa un vero casino:
1. Cosa succede dell'isomorfismo tra il duale del prodotto tensore e il prodotto tensore dei duali, nel caso di spazi vettoriali? Stando attenti a quello con cui si gioca, si può trovare una mappa
\[\delta : \bigotimes_{i \in I} V_i^* \to \Big(\bigotimes_{i \in I} V_i\Big)^*,\qquad \otimes_i f_i \mapsto \Big(\otimes_i x_i \mapsto \prod_{i \in I} f_i(x_i)\Big).\] che si può mostrare essere iniettiva, ma ti sfido con tutto il cuore a farlo per via elementare.
2. Data un'altra famiglia di spazi vettoriali $W_i$ esiste una mappa canonica
\[\alpha : \bigotimes_{i \in I} Hom(V_i,W_i) \to Hom(\bigotimes_{i \in I} V_i, \bigotimes_{i \in I} W_i).\] Ora, $\alpha$ è iniettiva, come è vero nel caso finito?
3. Cosa succede della proprietà associativa e commutativa del prodotto tensoriale? La domanda non è affatto banale: ricordi cosa succede alle serie non assolutamente convergenti quando ne permuti i termini? E' un teorema di Riemann e dice che...
C'è una ragione molto precisa per cui una cosa del genere mi interessa; in un qualche senso, ci sono certe categorie monoidali dove l'operazione di tensorizzazione ha arietà arbitraria; \(\bf Set\) (o qualsiasi topos, qualsiasi categoria cartesiana e piccolo-completa) è una di queste, ed è (relativamente a questo problema) semplice da studiare. La categoria dei moduli su un anello fissato è un altro esempio dove il prodotto tensoriale di una quantità arbitrariamente grande di moduli esiste, ma è difficile avere descrizionin maneggevoli. Dietro questa impossibilità si nasconde probabilmente una raffinatezza della teoria dei completamenti, dove aggiungendo determinati limiti si aggiunge, segretamente, anche una topologia. Dovrebbe c'entrare un qualche riflesso crepuscolare della dualità di Pontrjagin, o della caratterizzazione delle categorie che sono co-Grothendieck.
La mia domanda è: esistono altre categorie con questa proprietà? Cos'hanno di speciale? Grazie ai lavori di Joyal sulla teoria delle speci, sulle operad e sui funtori analitici sappiamo, oggi, che una struttura monoidale riflette la combinatoria degli oggetti nella categoria ambiente; questo paradigma si esporta alla combinatoria di insiemi infiniti (sia una risposta affermativa che negativa non sono affatto gratuite)?
Qualsiasi opinione o avanzamento in queste direzioni sarà premiato!
====
[1] E' possibile che tu non sia pratico dell'algebra delle parentesizzazioni nella teoria dei magmi; poco importa, hai certamente in testa l'idea intuitiva.
[2] Vi sono ragioni molto profonde per cui questo è vero, sepolte dietro qualche categorificazione della teoria dei monoidi topologici, che notoriamente non è una teoria algebrica nel senso di Lawvere.
Cos'è il prodotto tensoriale di un numero arbitrario, ma finito, di moduli \(\{M_1,\dots, M_n\}\) su un anello commuativo e unitario $R$? Semplice: è un rappresentante per il funtore che manda \(W\in\mathbf{Mod}(R)\) in \(\text{Mult}(M_1\times\dots\times M_n,W)\), ovvero, scelta una parentesizzazione \(\wp\) degli $n$ fattori, un oggetto \(T_{M_1, \dots, M_n, \wp}\) tale che ogni applicazione multilineare da \(M_1\times\dots\times M_n\) a \(W\) si scriva come una applicazione lineare $T\to W$. In altre parole si ha l'isomorfismo di $r$_moduli
\[
\text{Mult}(M_1\times\dots\times M_n,W)\cong \hom_R(T_{M_1, \dots, M_n}, W)
\]
in maniera naturale in tutti i suoi argomenti. Le vicissitudini della vita ti portano a denotare \(T_{M_1, \dots, M_n, \wp}\) con un nome leggermente più adeguato, ovvero \((M_1\otimes M_2\otimes\dots\otimes M_n)_\wp\), dove con questa scrittura intendo che hai parentesizzato il prodotto tensore secondo la regola \(\wp\). D'altra parte sai due cose, ora:
1. Quando esiste, un rappresentante è unico a meno di un unico isomorfismo (sostanzialmente, questo è il lemma di Yoneda sotto il suo consueto abito da ninja);
2. Il prodotto cartesiano, in qualsiasi categoria che li ammetta, è associativo a meno di isomorfismo, sicché sai che per qualsiasi coppia di parentesizzazioni tu possa scegliere a livello dei fattori nel prodotto cartesiano, diciamo \(\wp(M_1,\dots, M_n), \wp'(M_1,\dots M_n)\)[1], i due funtori \(\text{Mult}(\wp(M_1,\dots M_n),-)\) e \(\text{Mult}(\wp'(M_1,\dots M_n),-)\) sono isomorfi, dunque devono esserlo i rispettivi rappresentanti. Fine della storia: qualsiasi parentesizzazione degli $n$ fattori è isomorfa a qualsiasi altra, per cui sei autorizzato a scrivere senza ambiguità \(M_1\otimes \dots\otimes M_n\).
Ora vorrei proporti un esercizio su questa falsariga, che astrae leggermente quanto ti ho detto e te lo fa vedere da un punto di vista più intrinseco:
Data una famiglia finita di $R$-moduli [tex]\{V_i\}_{i\in I}[/tex], un ordinamento di [tex]I[/tex], consta di una biiezione [tex]\sigma\colon \{1,\dots,n\}\to I[/tex] dove [tex]n=\# I[/tex].
Ogni siffatto ordinamento corrisponde ad un diverso prodotto tensoriale [tex]V_{\sigma 1}\otimes\dots \otimes V_{\sigma n}[/tex], ossia a una diversa parentesizzazione \(\wp(\{V_i\})\) nelle notazioni precedenti; e' facile accorgersi che questa corrispondenza e' funtoriale da \(\mathfrak S(n)\) (il gruppo simmetrico su $n$ lettere) a \(\mathbf{Mod}(R)\) (la categoria dei moduli bilateri su $R$) se si guarda, come di consueto, un gruppo come una categoria con un singolo oggetto e in cui ogni morfismo e' un isomorfismo. Allora la corrispondenza [tex]\boldsymbol\varsigma\colon \mathfrak S(n)\to \mathbf{Mod}(R)[/tex] e' un diagramma di cui possiamo calcolare il limite:
[tex]\displaystyle \bigotimes_{i\in I} V_i := \varprojlim_{\mathfrak S(n)}\boldsymbol\varsigma[/tex][/list:u:2bwhqb92]
Questo limite corrisponde esattamente al prodotto tensoriale che cerchiamo, perché è una sorta di "parte invariante" rispetto a tutte le possibili permutazioni dei suoi fattori (Esercizio per i più tenaci: e' vero o no che la definizione sarebbe andata bene anche sostituendo [tex]\varinjlim[/tex] a [tex]\varprojlim[/tex], cioè prendendo, in un senso opportuno, la somma pesata di tutti i fattori del prodotto tensoriale, che identifica gli appartenenti alla stessa orbita?)
La seconda cosa che voglio proporti è una riflessione cui penso da molti mesi:
Sia $M_i, i \in I$ una famiglia arbitraria di moduli sullo stesso anello commutativo e unitario. Il loro prodotto tensoriale \(\bigotimes_{i \in I} M_i\) si può definire sfruttando la stessa relazione di prima, cioè come un rappresentante del funtore \(\text{Mult}\Big(\prod_{i \in I} M_i,-\Big)\). Ciò si traduce nella presenza di una mappa $I$-multilineare universale \(\otimes : \prod_{i \in I} M_i \to \bigotimes_{i \in I} M_i\) che soddisfa le stesse proprietà formali del caso finito.
In generale, però, è estremamente difficile descrivere questa struttura: per esempio, se l'anello di base è un campo, quindi lavoriamo con spazi vettoriali, il semplice prodotto numerabile \(K \otimes_K \otimes_K ...\) ha dimensione \(|K^\times|^{\aleph_0}\) e diventa difficile persino scrivere una base di questo spazio (il punto determinante è: l'oggetto esiste per puro formal-nonsense categoriale, però è impossibile esibire un rappresentante canonico come si faceva nel caso finito, perché quozientare il modulo libero $R^{X}$ rispetto a quella mole di relazioni che impongono la multilinearità non è un'operazione lecita[2]). Per esempio in \(K \otimes_K \otimes_K ...\), dovremmo avere $x_1 \otimes x_2 \otimes ... = y_1 \otimes y_2 \otimes ...$ iff $x_i = y_i$ per ogni $i$ tranne un numero finito, e per i restanti $\prod_i x_i = \prod_i y_i$.
Provare proprietà che nel caso finito sono semplici conseguenze della rappresentabilità diventa un vero casino:
1. Cosa succede dell'isomorfismo tra il duale del prodotto tensore e il prodotto tensore dei duali, nel caso di spazi vettoriali? Stando attenti a quello con cui si gioca, si può trovare una mappa
\[\delta : \bigotimes_{i \in I} V_i^* \to \Big(\bigotimes_{i \in I} V_i\Big)^*,\qquad \otimes_i f_i \mapsto \Big(\otimes_i x_i \mapsto \prod_{i \in I} f_i(x_i)\Big).\] che si può mostrare essere iniettiva, ma ti sfido con tutto il cuore a farlo per via elementare.
2. Data un'altra famiglia di spazi vettoriali $W_i$ esiste una mappa canonica
\[\alpha : \bigotimes_{i \in I} Hom(V_i,W_i) \to Hom(\bigotimes_{i \in I} V_i, \bigotimes_{i \in I} W_i).\] Ora, $\alpha$ è iniettiva, come è vero nel caso finito?
3. Cosa succede della proprietà associativa e commutativa del prodotto tensoriale? La domanda non è affatto banale: ricordi cosa succede alle serie non assolutamente convergenti quando ne permuti i termini? E' un teorema di Riemann e dice che...
C'è una ragione molto precisa per cui una cosa del genere mi interessa; in un qualche senso, ci sono certe categorie monoidali dove l'operazione di tensorizzazione ha arietà arbitraria; \(\bf Set\) (o qualsiasi topos, qualsiasi categoria cartesiana e piccolo-completa) è una di queste, ed è (relativamente a questo problema) semplice da studiare. La categoria dei moduli su un anello fissato è un altro esempio dove il prodotto tensoriale di una quantità arbitrariamente grande di moduli esiste, ma è difficile avere descrizionin maneggevoli. Dietro questa impossibilità si nasconde probabilmente una raffinatezza della teoria dei completamenti, dove aggiungendo determinati limiti si aggiunge, segretamente, anche una topologia. Dovrebbe c'entrare un qualche riflesso crepuscolare della dualità di Pontrjagin, o della caratterizzazione delle categorie che sono co-Grothendieck.
La mia domanda è: esistono altre categorie con questa proprietà? Cos'hanno di speciale? Grazie ai lavori di Joyal sulla teoria delle speci, sulle operad e sui funtori analitici sappiamo, oggi, che una struttura monoidale riflette la combinatoria degli oggetti nella categoria ambiente; questo paradigma si esporta alla combinatoria di insiemi infiniti (sia una risposta affermativa che negativa non sono affatto gratuite)?
Qualsiasi opinione o avanzamento in queste direzioni sarà premiato!
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[1] E' possibile che tu non sia pratico dell'algebra delle parentesizzazioni nella teoria dei magmi; poco importa, hai certamente in testa l'idea intuitiva.
[2] Vi sono ragioni molto profonde per cui questo è vero, sepolte dietro qualche categorificazione della teoria dei monoidi topologici, che notoriamente non è una teoria algebrica nel senso di Lawvere.
(E non mi ringraziare, piuttosto odiami come fanno ormai tutti gli altri utenti :* )
"killing_buddha":Credo di seguirti, anche se non sono del tutto certo che il mio vedere questo fatto tanto immediato non sia piuttosto la spia di un mio fraintendimento.
Il prodotto cartesiano, in qualsiasi categoria che li ammetta, è associativo a meno di isomorfismo, sicché sai che per qualsiasi coppia di parentesizzazioni tu possa scegliere a livello dei fattori nel prodotto cartesiano, diciamo \( \wp(M_1,\dots, M_n), \wp'(M_1,\dots M_n) \)[1], i due funtori \( \text{Mult}(\wp(M_1,\dots M_n),-) \) e \( \text{Mult}(\wp'(M_1,\dots M_n),-) \) sono isomorfi, dunque devono esserlo i rispettivi rappresentanti. Fine della storia: qualsiasi parentesizzazione degli $ n $ fattori è isomorfa a qualsiasi altra, per cui sei autorizzato a scrivere senza ambiguità \( M_1\otimes \dots\otimes M_n \).
Per quanto riguarda gli affascinanti esercizi che proponi, purtroppo io non ho proprio le basi per maneggiarli.
Cerco di studiare matematica e fisica da autodidatta nel tempo libero dal lavoro con un curriculum educativo strettamente umanistico -liceo classico e lettere- alle spalle e il pochissimo che so di algebra mi viene dall'Algebra del Bosch e da quanto gli altri forumisti mi hanno tanto gentilmente trasmesso finora, ma il fascino che esercita su di me questa branca della matematica è tremendo: se la mia compagna sapesse veramente quanto amo l'algebra, ne sarebbe gelosissima... 
"killing_buddha":
(E non mi ringraziare, piuttosto odiami come fanno ormai tutti gli altri utenti :* )
$\infty$ grazie!!!
"DavideGenova":
Ho aggiunto qualche dettaglio che fissa delle notazioni che ieri alle due di notte erano solo nella mia testa. Per il resto:
purtroppo io non ho proprio le basi per maneggiarli.
In un libro di algebra e' probabile che ci sia un po' di teoria delle categorie: prima o poi ci arriverai.
il pochissimo che so di algebra mi viene dall'Algebra del Bosch
Mi sento di consigliarti ad esempio il libro di Grillet (Abstract Algebra), cristallino come pochi.
se la mia compagna sapesse veramente quanto amo l'algebra, ne sarebbe gelosissima
E' una sensazione comune a molti matematici, credo.
Grazie anche per il consiglio bibliografico e felice anno nuovo!!! 
"killing_buddha":
è impossibile esibire un rappresentante canonico come si faceva nel caso finito, perché quozientare il modulo libero $R^{X}$ rispetto a quella mole di relazioni che impongono la multilinearità non è un'operazione lecita[2]).
Ti va di spendere due parole in più sul perché? Se ho capito bene, come dici tu qui:
"killing_buddha":
Per esempio in \(K \otimes_K \otimes_K ...\), dovremmo avere $x_1 \otimes x_2 \otimes ... = y_1 \otimes y_2 \otimes ...$ iff $x_i = y_i$ per ogni $i$ tranne un numero finito, e per i restanti $\prod_i x_i = \prod_i y_i$.
la mole di relazioni che impongono la multilinearità in realtà la impongono su un numero finito di "coordinate" lasciando invariate le altre.
Perché non posso imporle? Qual è il problema? Se le imponessi otterrei il modulo nullo o non otterrei il risultato voluto?
"killing_buddha":
La categoria dei moduli su un anello fissato è un altro esempio dove il prodotto tensoriale di una quantità arbitrariamente grande di moduli esiste, ma è difficile avere descrizionin maneggevoli. Dietro questa impossibilità si nasconde probabilmente una raffinatezza della teoria dei completamenti, dove aggiungendo determinati limiti si aggiunge, segretamente, anche una topologia. Dovrebbe c'entrare un qualche riflesso crepuscolare della dualità di Pontrjagin, o della caratterizzazione delle categorie che sono co-Grothendieck.
Inutile dire che non ho capito niente di quest'ultimo paragrafo, anzi: non ne so niente.
"killing_buddha":
[2] Vi sono ragioni molto profonde per cui questo è vero, sepolte dietro qualche categorificazione della teoria dei monoidi topologici, che notoriamente non è una teoria algebrica nel senso di Lawvere.
Esiste un modo semi-parzialmente comprensibile per spiegare queste ragioni molto profonde?
Esiste un modo semi-parzialmente comprensibile per spiegare queste ragioni molto profonde?
Supponi di avere un monoide commutativo $M$ la cui operazione denotiamo additivamente. Le somme di un numero arbitrario, ma finito, di termini, hanno un significato univoco. Così non è però per le somme infinite, per dare senso alle quali hai bisogno di una topologia. E anche così, se la "serie" che ottieni non soddisfa a proprietà ulteriori, non hai alcuna speranza di conservare la commutatività, perché per esempio un risultato di Riemann dice che una serie non assolutamente convergente si può far convergere a qualsiasi valore reale.
Una teoria algebrica (single- o many-sorted) nel senso di Lawvere è essenzialmente un modo di compattare la presenza di operazioni di varia arietà su degli insiemi, esprimendole come proprietà di un opportuno funtore che preserva i prodotti finiti; questo oggetto sostanzialmente ti dice: sull'insieme tizio ci sono le tali operazioni di tale arietà; su quest'altro, le talaltre operazioni (ed eventualmente queste operazioni sono compatibili: pensa alla teoria degli anelli).
Ora, queste operazioni devono avere arietà finita! Nel caso dei monoidi topologici credo invece che uno debba accettare l'esistenza di (alcune) somme infinite. Esiste una nozione di teoria di Lawvere infinitaria, ma non sono abbastanza skillato per entrare in dettaglio.
Inutile dire che non ho capito niente di quest'ultimo paragrafo, anzi: non ne so niente.
La prossima puntata
"killing_buddha":
Supponi di avere
....
entrare in dettaglio.
Ti ringrazio!
L'esercizio che ho proposto appena prima di quella parte però fallo, è divertente.
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