Base per un campo di spezzamento

[G.G211]

Sia $ E $ il campo di spezzamento del polinomio $x^(4)-2x^(2)-3 $ su $ QQ $. Come faccio a determinare una base per $ E $ come $ QQ $-spazio vettoriale? Ho calcolato $ E $ e mi viene $ E=QQ(sqrt(3), sqrt(5)) $, e la dimensione dell'estensione è $ 4 $.
Ma non so se posso dire che la base è ${1, sqrt(3), sqrt(5) } $, perchè essendo la dimensione dell'estensione $ 4 $ la base dovrebbe avere 4 elementi.

[maurer]

C'è un teorema che dimostra appunto che se [tex]F \subseteq K \subseteq L[/tex] è una torre di estensioni e [tex][L], [K] < \infty[/tex] allora [tex][L] = [L][K][/tex]. Probabilmente hai utilizzato questo teorema per concludere che la dimensione della tua estensione è [tex]4[/tex].
La domanda è: ti ricordi la dimostrazione? In quella dimostrazione, infatti, è mostrato costruttivamente come ottenere la base dell'estensione [tex]F \subseteq L[/tex].

Le dimostrazioni sono importanti non solo perché implicano la tesi del teorema, ma, spesso, offrono un metodo costruttivo utilizzabile nella pratica. E' uno dei tanti motivi per cui vengono fatte imparare!

[G.G211]

Ho riguardato la dimostrazione e se ho capito bene per ottenere la base dell'estensione $ F sube L $ bisogna moltiplicare gli elementi della base di $ F sube K $ per quelli della base di $ K sube L $ quindi nel mio caso dovrei moltiplicare $ {1, sqrt(3) } $ per $ {1, sqrt(5) } $ ottenendo $ {1, sqrt(3), sqrt(5), sqrt(15) } $, giusto?

[maurer]

Esattamente.