Banalità, estensioni e campo dei quozienti

[Seneca1]

Sia $QQ$ il campo dei razionali, e $u_1 , u_2 \in CC$ algebricamente indipendenti su $QQ$; considero $QQ[u_1,u_2]$ il più piccolo sottoanello (di $CC$) che contiene $QQ$, $u_1$ e $u_2$. In generale questo non è un campo (lo sarebbe in che circostanza? ).
Il campo dei quozienti $Q(QQ[u_1,u_2])$ di questo sottoanello che ho introdotto è $QQ(u_1, u_2)$, cioè il più piccolo sottocampo di $CC$ che contiene $QQ$, $u_1$ e $u_2$.

Banalmente $Q(QQ[u_1,u_2]) \supset QQ(u_1 , u_2)$. L'altra inclusione, invece, è vera (sempre)? Al momento non ho un'idea per provarla, anche se magari è un fatto evidente...

[perplesso1]

Visto che non ti ha risposto nessuno ti dico la mia. xD Secondo me questa cosa che vuoi provare è vera in generale, cioè prendi un sottoinsieme $X$ di un campo e diciamo che $Sr(X)$ è il sottoanello generato da $X$ mentre $Sf(X)$ è il sottocampo. Tu vuoi dimostrare che il campo dei quozienti $Q(Sr(X))$ è isomorfo a $Sf(X)$. Bene, consideriamo la funzione $f: x/y \in Q(Sr(X)) -> xy^{-1} \in Sf(X)$. Prima di tutto vediamo se è ben posta. Se $x/y = z/w$ allora per costruzione $xw=yz$ cioè $xy^{-1}=zw^{-1}$ cioè $f(x/y) = f(z/w)$. Poi proviamo che è un morfismo $f(x/y + z/w)=f({xw+yz}/{yw})=(xw+yz)(yw)^{-1}= xy^{-1}+zw^{-1} = f(x/y) + f(z/w)$ e ancora $f(x/y * z/w)=(xz)(yw)^{-1}= (xy^{-1})(zw^{-1})= f(x/y) * f(z/w)$. Poi vediamo che è iniettiva infatti da $xy^{-1}=f(x/y) = f(z/w)=zw^{-1}$ segue $xw=zy$ cioè $x/y = z/w$ ed è surriettiva perchè se $0 \ne x \in Sr(X)$ allora $x^{-1} \in Sf(X)$ e risulta $f^{-1}(x^{-1})=1/x$ e questo basta per dire che ogni elemento di $Sf(X)$ possiede un'antimmagine non vuota.