Azioni fedeli di gruppi su insiemi finiti
Buongiorno a tutti.
Ho il seguente esercizio:
"Per ciascuno dei gruppi seguenti, trovare il più piccolo intero \(\displaystyle n \) tale che il gruppo abbia un'azione fedele su un insieme \(\displaystyle S \) con \(\displaystyle n \) elementi:
a) il gruppo dei quaternioni \(\displaystyle H \)
b) \(\displaystyle D_4 \)
c) \(\displaystyle D_6 \)"
Prendiamo il caso a). Posto la mia soluzione parziale:
\(\displaystyle H \) ha ordine \(\displaystyle 8 \), quindi \(\displaystyle n\leq 8 \) in quanto \(\displaystyle H \) agisce fedelmente su se stesso. Inoltre, dato che l'azione è fedele, \(\displaystyle H \) deve essere isomorfo ad un sottogruppo del gruppo delle permutazioni di \(\displaystyle S \), da cui che \(\displaystyle n\geq 4 \).
Dunque può essere \(\displaystyle n=4,5,6,7,8 \).
So che se \(\displaystyle S \) è diviso in orbite \(\displaystyle O_1 ,O_2 \) di ordine \(\displaystyle n_1 ,n_2 \) rispettivamente, e l'azione è fedele, allora \(\displaystyle H \) deve essere isomorfo ad un sottogruppo del prodotto diretto \(\displaystyle S_{n_1} \times S_{n_2} \). Dunque:
- se \(\displaystyle n=4 \) l'unico caso favorevole è che si abbia una sola orbita e quindi che \(\displaystyle H \) sia un sottogruppo di \(\displaystyle S_4 \);
- se \(\displaystyle n=5 \) ci riportiamo a \(\displaystyle n=4 \);
- se \(\displaystyle n=6 \) abbiamo tre casi favorevoli: 3 orbite di ordine 2 (quindi \(\displaystyle H \) sottogruppo di \(\displaystyle C_2 \times C_2 \times C_2 \) ) , un'orbita di ordine 2 e una di ordine 4 (quindi \(\displaystyle H \) sottogruppo di \(\displaystyle C_2 \times S_4 \) ) , due orbite di ordine 1 e una di ordine \(\displaystyle 4 \) (quindi \(\displaystyle H \) sottogruppo di \(\displaystyle S_4 \) );
- se \(\displaystyle n=7 \) ci riportiamo a \(\displaystyle n=6 \).
Per completare dovrei dimostrare di quali tra i gruppi \(\displaystyle C_2 \times C_2 \times C_2, S_4 ,C_2 \times S_4 \) il gruppo dei quaternioni è o non è un sottogruppo, e qui mi blocco. Si vede facilmente che \(\displaystyle H\not \simeq C_2 \times C_2 \times C_2 \) , ma gli altri due casi?
Grazie a tutti
Ho il seguente esercizio:
"Per ciascuno dei gruppi seguenti, trovare il più piccolo intero \(\displaystyle n \) tale che il gruppo abbia un'azione fedele su un insieme \(\displaystyle S \) con \(\displaystyle n \) elementi:
a) il gruppo dei quaternioni \(\displaystyle H \)
b) \(\displaystyle D_4 \)
c) \(\displaystyle D_6 \)"
Prendiamo il caso a). Posto la mia soluzione parziale:
\(\displaystyle H \) ha ordine \(\displaystyle 8 \), quindi \(\displaystyle n\leq 8 \) in quanto \(\displaystyle H \) agisce fedelmente su se stesso. Inoltre, dato che l'azione è fedele, \(\displaystyle H \) deve essere isomorfo ad un sottogruppo del gruppo delle permutazioni di \(\displaystyle S \), da cui che \(\displaystyle n\geq 4 \).
Dunque può essere \(\displaystyle n=4,5,6,7,8 \).
So che se \(\displaystyle S \) è diviso in orbite \(\displaystyle O_1 ,O_2 \) di ordine \(\displaystyle n_1 ,n_2 \) rispettivamente, e l'azione è fedele, allora \(\displaystyle H \) deve essere isomorfo ad un sottogruppo del prodotto diretto \(\displaystyle S_{n_1} \times S_{n_2} \). Dunque:
- se \(\displaystyle n=4 \) l'unico caso favorevole è che si abbia una sola orbita e quindi che \(\displaystyle H \) sia un sottogruppo di \(\displaystyle S_4 \);
- se \(\displaystyle n=5 \) ci riportiamo a \(\displaystyle n=4 \);
- se \(\displaystyle n=6 \) abbiamo tre casi favorevoli: 3 orbite di ordine 2 (quindi \(\displaystyle H \) sottogruppo di \(\displaystyle C_2 \times C_2 \times C_2 \) ) , un'orbita di ordine 2 e una di ordine 4 (quindi \(\displaystyle H \) sottogruppo di \(\displaystyle C_2 \times S_4 \) ) , due orbite di ordine 1 e una di ordine \(\displaystyle 4 \) (quindi \(\displaystyle H \) sottogruppo di \(\displaystyle S_4 \) );
- se \(\displaystyle n=7 \) ci riportiamo a \(\displaystyle n=6 \).
Per completare dovrei dimostrare di quali tra i gruppi \(\displaystyle C_2 \times C_2 \times C_2, S_4 ,C_2 \times S_4 \) il gruppo dei quaternioni è o non è un sottogruppo, e qui mi blocco. Si vede facilmente che \(\displaystyle H\not \simeq C_2 \times C_2 \times C_2 \) , ma gli altri due casi?
Grazie a tutti
Risposte
Quello che devi trovare è esplicitamente un endomorfismo di \(\displaystyle H \) in \(\displaystyle \mathfrak{S}_n \). In altre parole devi trovare le immagini dei vari elementi. L'elemento \(\displaystyle -1 \) ha ordine \(\displaystyle 2 \) mentre \(\displaystyle \pm i, \pm j, \pm k \) hanno ordine \(\displaystyle 4 \). Risulta quindi evidente che \(\displaystyle \mathfrak{S}_4 \) è troppo piccolo (ha solo 2 elementi distinti di ordine 4).
Nel caso di \(\displaystyle \mathfrak{S}_5 \) non va bene perché \(\displaystyle (abcd)^2 = (ac)(bd) = (adcb)^2 \), ma a noi servono \(\displaystyle 6 \) elementi di ordine \(\displaystyle 4 \) con lo stesso quadrato, mentre \(\displaystyle \mathfrak{S}_5 \) ne ha sempre solo due.
Con considerazioni analoghe elimini anche \(\displaystyle \mathfrak{S}_6\) (che ne ha solo 4) e \(\displaystyle \mathfrak{S}_6\) in cui l'insieme degli elementi di ordine 4 con lo stesso quadrato non è chiuso e un suo sottoinsieme chiusto ha al massimo 4 elementi.
Nel caso di \(\displaystyle \mathfrak{S}_5 \) non va bene perché \(\displaystyle (abcd)^2 = (ac)(bd) = (adcb)^2 \), ma a noi servono \(\displaystyle 6 \) elementi di ordine \(\displaystyle 4 \) con lo stesso quadrato, mentre \(\displaystyle \mathfrak{S}_5 \) ne ha sempre solo due.
Con considerazioni analoghe elimini anche \(\displaystyle \mathfrak{S}_6\) (che ne ha solo 4) e \(\displaystyle \mathfrak{S}_6\) in cui l'insieme degli elementi di ordine 4 con lo stesso quadrato non è chiuso e un suo sottoinsieme chiusto ha al massimo 4 elementi.
"vict85":
Quello che devi trovare è esplicitamente un endomorfismo di \(\displaystyle H \) in \(\displaystyle \mathfrak{S}_n \). In altre parole devi trovare le immagini dei vari elementi. L'elemento \(\displaystyle -1 \) ha ordine \(\displaystyle 2 \) mentre \(\displaystyle \pm i, \pm j, \pm k \) hanno ordine \(\displaystyle 4 \). Risulta quindi evidente che \(\displaystyle \mathfrak{S}_4 \) è troppo piccolo (ha solo 2 elementi distinti di ordine 4).
Nel caso di \(\displaystyle \mathfrak{S}_5 \) non va bene perché \(\displaystyle (abcd)^2 = (ac)(bd) = (adcb)^2 \), ma a noi servono \(\displaystyle 6 \) elementi di ordine \(\displaystyle 4 \) con lo stesso quadrato, mentre \(\displaystyle \mathfrak{S}_5 \) ne ha sempre solo due.
Con considerazioni analoghe elimini anche \(\displaystyle \mathfrak{S}_6\) (che ne ha solo 4) e \(\displaystyle \mathfrak{S}_6\) in cui l'insieme degli elementi di ordine 4 con lo stesso quadrato non è chiuso e un suo sottoinsieme chiusto ha al massimo 4 elementi.
Capito, grazie.
Il mio approccio va comunque bene?
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