Azioni di gruppi,algebra

[Casetta]

chi mi sa dimostrare questi altri due teoremi..io nn sono capace per niente.....
1) Se G è un gruppo semplice finito non abeliano,allora l'ordine di G è divisibile per almeno due primi distinti.
2) un gruppo semplice infinito e finitamente generato non può avere un sottogruppo proprio di indice finito.
grazie in anticipo....

[j18eos]

Suppongo che tu debba utilizzare le azioni di gruppi...

Sull'esercizio (1) ti consiglio di ragionare per assurdo e considerare l'azione per coniugio di \(G\) sui suoi \(p\)-Sylow; con \(p\) unico divisore primo dell'ordine di \(G\).

Sul secondo esercizio ho un vago ricordo che ora non posso chiarificare, aspetta un pò (me od altri)....

P.S.: Ti invito comunque a leggere il regolamento, soprattuto le regole 1.2 e 1.3.

[Casetta]

hai ragione...cmq ho fatto la dim..per la 1) nn ho potuto usare Sylow perchè nn li ho ancora studiati per le azioni..cmq ho ragionato per assurdo dicendo che l ordine di G è divisibile solo per un primo...e poi sfrutto il fatto che G è un gruppo semplice...credo vada bn!!!!! cmq grazie

[Studente Anonimo]

Per (1), ricorda che i p-gruppi finiti hanno centro non banale. Per (2), ricorda che se H è un sottogruppo di indice [tex]n[/tex] (finito) di un gruppo [tex]G[/tex] allora l'indice di [tex]H_G = \bigcap_{g \in G} g^{-1}Hg[/tex] in [tex]G[/tex] divide [tex]n![/tex], quindi è anch'esso finito e [tex]H_G \unlhd G[/tex]. Il motivo è che il nucleo dell'omomorfismo [tex]G \to \text{Sym}(n)[/tex] dato dall'azione di [tex]G[/tex] di moltiplicazione a destra sull'insieme delle [tex]n[/tex] classi laterali destre di [tex]H[/tex] in [tex]G[/tex] è [tex]H_G[/tex], quindi [tex]G/H_G[/tex] è isomorfo a un sottogruppo di [tex]\text{Sym}(n)[/tex].