Azioni di gruppi

[etta.nico]

Ho alcune difficolta' su esercizi sulle azioni di gruppi
esercizio 1:
a) Determinare il centralizzante in $S_6$ della permutazione $\sigma =(1,2,3,4,6) $
b) Quante classi di coniugio di elementi di ordine $5$ ci sono in $A_6$? Per ognuna di queste se ne dia un rappresentante e se ne calcoli l'ordine.
c) Si verifichi che $C_(S_6) ((1,2,3)) != A_6$

Il centralizzante $C_(S_6) (\sigma) = {\tau in S_6 | \tau\sigma=\sigma\tau } ={\tau in S_6 | \tau\sigma(\tau)^(-1)=\sigma }
pero' ora potrei trovarne qualcuno per tentativi ma come faccio a trovarli tutti?

[claudiamatica]

Per le prime due domande dovrebbe venirti in aiuto l'equazione delle classi, che ti dice quanti sono gli elementi che commutano con quella permutazione.

$|K(g)| = [G:C(g)]$ dove $|K(g)|$ è il numero degli elementi nella classe di coniugio di G, e $C(g)$ è il centralizzante di $g$.
Per l'ultima basta trovare una permutazione dispari che commuti con $(123)$, e non dovrebbe essere difficile

[etta.nico]

grazie.
quindi ora so che $|C_(S_6) (\sigma)| =(|S_6|)/(|\sigma^S_6|) =(6!)/(1/5 *6!) =5$
Quindi $C_(S_6)$ è proprio $<\sigma> = {1,\sigma, \sigma^2, \sigma^3, \sigma^4}$
(b) queste permutazioni mi sembrano tutte dispari, quindi secondo me nessuna appartiene ad $A_6$. ho sbagliato?
(c) esempio : $ (5 6) (1 2 3 ) = (1 2 3) ( 5 6) $

Esercizio 2
Sia G un gruppo che agisce su un insieme $|X| >= 2$ e si assuma che l’azione sia transitiva. Si provi che esiste un $g in G$ tale che $g*x != x$ $AA x in X$.

e qui mi limito a dire che transitiva significa che ha una sola orbita.
riuscite a darmi qualche consiglio?

[claudiamatica]

Attento al punto (b). I 5-cicli sono permutazioni pari, si scrivono come prodotto di 4 trasposizioni (in generale un n-ciclo, con n dispari, è una permutazione pari).

Per l'esercizio 2 prova ad usare la definizione di azione transitiva, cioè $\forall x,y in X \exists g : gx=y$ e a ragionare per assurdo