Azione di un gruppo

[Maryse1]

Sera! volevo chiedere un aiuto riguardo un esercizio sulle azioni di un gruppo G su un insieme X.
Dice questo: (a sarebbe per tau non so come scriverlo XD)
Sia X un insieme con un'azione del gruppo G. Sia $ a in G $ , sia $ x in X $ e sia Gx lo stabilizzatore di x. Dimostrare che lo stabilizzatore di a(x) è uguale a: $ aGx(a)^(-1) $ .

Allora io so che lo stabilizzatore è un sottogruppo di G. Quindi lo stabilizzatore di x è Gx= $ { g in G : gx=x } $ giusto no?, quindi lo stabilizzatore di a(x) dovrebbe essere un elemento di G, per esempio μ tale che μ(a(x))=a(x)...giusto?..però non so come dimostrare che sia $ aGx(a)^(-1) $.

[apatriarca]

Ti manca proprio un ultimo piccolo passaggio. Sia \( \tau \in G \) un qualsiasi elemento del gruppo, allora per qualsiasi elemento \( \mu \in G \) dello stabilizzatore di \( \tau \, x \) vale la relazione \( \mu \, \tau \, x = \tau \, x \). Cioè, moltiplicando per \( \tau^{-1} \), abbiamo che \( \tau^{-1} \, \mu \, \tau \, x = x \) cioè \( \tau^{-1} \, \mu \, \tau \in G \, x \). In altre parole, \( \mu \in \tau \, G \, x \, \tau^{-1} \).