Azione di Gruppi

[isaac888]

Salve a tutti,

sto cercando di capire come agisce il gruppo $Aut(G)$ sull'insieme $X:={H \subseteq G| H
Se $\psi$ è l'azione, chiamando $S(X)$ l'insieme delle bigezioni da $X$ in sè, ad un elemento $\varphi \in Aut(G)$ verrebbe associato un elemento $\psi_{\varphi} \in S(X)$ in modo che $o(\psi_{\varphi})|o(\varphi)$.

Ora $\psi_{\varphi}(H)=$???

Penso che dovrebbe essere qualcosa del genere: $\varphi$(?)$H$(?)$\varphi^-1 \in X$.
Qualcuno mi può aiutare a capire meglio per favore? E poi questa cosa che informazioni mi darebbe?

grazie

[Studente Anonimo]

$\psi_{\varphi}(H) = \varphi(H) = \{\varphi(h)\ :\ h \in H\}$.

[isaac888]

"Martino":$\psi_{\varphi}(H) = \varphi(H) = \{\varphi(h)\ :\ h \in H\}$.

Intanto grazie per l'intervento. Mi spieghi per favore perchè hai definito in quel modo l'omomorfismo $\psi$ e che cosa c'entra questa definizione con un coniugio?

[Studente Anonimo]

Al contrario di quello che dici, l'azione di $Aut(G)$ su $X$ non è per coniugio. Non ha nemmeno senso parlare di azione di coniugio, se $\varphi \in Aut(G)$ e $H \leq G$ come definisci $\varphi^{-1} H \varphi$ ?

L'azione di $Aut(G)$ su $X$ è semplicemente l' l'azione "naturale", cioè quella che dato $\varphi \in Aut(G)$ mappa $H$ in $\varphi(H)$, l'insieme delle immagini tramite $\varphi$ degli elementi di $H$.