Azione a destra

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Sono confuso su una cosa molto facile, un'azione a destra è anche un azione a sinistra prendendo semplicemente l'inverso nel gruppo. Ora mi è più comodo (per me e per tutta una serie di motivi) usare un azione a destra invece che un azione a sinistra. Ma non riesco a dimostrare che la stessa azione è azione a destra...

Io ho un polinomio omogeneo di grado \(n \) in due variabili a coefficienti interi \( F(x,y) \) e faccio agire \( M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z}) \) nel seguente modo
\[ F(x,y) \circ M = F(ax+by, cx+dy) \]
ora per essere un'azione a destra devo avere \( F(x,y) \circ I_2 = F(x,y) \) ed è chiaramente vero. Ma non riesco a dimostrare la compatibilità dell'azione con il prodotto matriciale... infatti a me risulta che
\[ F \circ (MN) = (F \circ N ) \circ M \]
non dovrei avere
\[ F \circ (MN) = ( F \circ M ) \circ N \] ?
Mentre se l'azione è a sinistra mi funziona tutto bene perché effettivamente ottengo che
\[ (MN) \circ F = M \circ ( N \circ F ) \]

Infatti prendendo \( M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) e \( N = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} \) ottengo che
\[ F(x,y ) \circ (MN) = F( (ae+bg) x + (af +bh)y, (ce+dg)x + (cf+dh)y) \]
\[ F(x,y ) \circ (NM) = F( (ae+cf)x + (be+df)y , (ag+ch)x + (bg+dh)y ) \]
mentre
\[ ( F(x,y) \circ M ) \circ N = F(ax+by,cx+dy) \circ N = F( e(ax+by)+f(cx+dy) , g(ax+by) + h(cx +dy) ) = F( (ae+cf)x + (be+df)y , (ag+ch)x + (bg+dh)y ) = F(x,y) \circ (NM) \]
che non sono uguali...

[marco2132k]

Allora, non so se ha senso quello che sto dicendo, ma l'azione non è a destra quando ad agire è \( G^{\mathrm{op}} \)? (Intendo il gruppo opposto del gruppo che stai considerando).

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Si hai ragione, però la cosa che mi sembra strana allora è che nel paper che stavo leggendo mi dice che \( \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z}) \) agisce a destra...

If \(F\) is a form with coefficient in \(K\) of degree \(n\) and \( \gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) is \( 2 \times 2 \) matrix with coefficients in \(K\) we define the action of \(\gamma \) on \(F\) by \( F \circ \gamma (x,y) = F(ax+by,cx+dy) \).

A meno che non dia per scontato che intenda che agisca il gruppo opposto. Ovvero dove \( M \cdot' N = N \cdot M \).

[megas_archon]

L'azione che hai scritto a me sembra sinistra, perché interpretando un polinomio come una funzione \(\mathbb Z \times \mathbb Z \to \mathbb Z\) (o dovunque vuoi i coefficienti), $M$ agisce su $F$ precomponendo $F$ con $M$ (guardata come applicazione lineare di \(\mathbb Z^2\) in sé stesso), ed $F$ agisce su un "vettore" colonna. Per avere un'azione destra, devi mandare \((x \,\, y)\in (\mathbb Z^2)^\lor = \hom(\mathbb Z^2, \mathbb Z)\cong \mathbb Z^2\) in \((x\,\, y)M^t\) (la trasposizione è un antimorfismo).

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"3m0o":Si hai ragione, però la cosa che mi sembra strana allora è che nel paper che stavo leggendo mi dice che \( \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z}) \) agisce a destra...

If \( F \) is a form with coefficient in \( K \) of degree \( n \) and \( \gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) is \( 2 \times 2 \) matrix with coefficients in \( K \) we define the action of \( \gamma \) on \( F \) by \( F \circ \gamma (x,y) = F(ax+by,cx+dy) \).

A meno che non dia per scontato che intenda che agisca il gruppo opposto. Ovvero dove \( M \cdot' N = N \cdot M \).

Mi vuoi dire che è un azione a sinistra ma scrive la matrice a destra?

Perché agisce prima su \( (x,y)^T \)

[megas_archon]

"3m0o":Mi vuoi dire che è un azione a sinistra ma scrive la matrice a destra?

Un'azione non è determinata da dove scrivi l'elemento che agisce, ma da come questo elemento agisce; come ti è stato detto, le azioni destre sono azioni del monoide opposto.

[marco2132k]

L'azione è a sinistra, nel senso che
\[
M\cdot (N\cdot F(x,y)) = (MN)\cdot F(x,y)
\] ma se pensi a \( M \) e ad \( N \) e ad \( F(x,y) \) come funzioni, hai
\[
(MN)\cdot F(x,y) = ((F\circ {\color{red}N})\circ {\color{red}M})(x,y)
\] dove \( {\cdot} \) è l'azione e \( {\circ} \) la composizione di funzioni.

Nota che in RHS le matrici sono invertite, com'è giusto quando scrivi cose a destra con un azione sinistra.

EDIT. Ho fatto i conti.

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"megas_archon":[quote="3m0o"]Mi vuoi dire che è un azione a sinistra ma scrive la matrice a destra?

Un'azione non è determinata da dove scrivi l'elemento che agisce, ma da come questo elemento agisce; come ti è stato detto, le azioni destre sono azioni del monoide opposto.[/quote]
Sono d'accordo... però insomma mi ha confuso un po', sono sempre stato abituato a vedere scritto a sinistra un elemento del gruppo quando l'azione era a sinistra e viceversa...

"marco2132k":L'azione è a sinistra, nel senso che
\[ M\cdot (N\cdot F(x,y)) = (MN)\cdot F(x,y) \] ma se pensi a \( M \) e ad \( N \) e ad \( F(x,y) \) come funzioni, hai
\[ (MN)\cdot F(x,y) = ((F\circ {\color{red}N})\circ {\color{red}M})(x,y) \] dove \( {\cdot} \) è l'azione e \( {\circ} \) la composizione di funzioni.

Nota che in RHS le matrici sono invertite, com'è giusto quando scrivi cose a destra con un azione sinistra.

EDIT. Ho fatto i conti.

Grazie... quindi in realtà il problema non sussiste perché preferisco allora che l'azione sia a sinistra (e non a destra ahahah)