Avrei una problema polinomiale di irriducibilità
Sia dato un polinomio f , definito in Q , a coefficienti interi ed irriducibile . Sia g il polinomio ottenuto da f con la seguente posizione : al coefficiente a(i) si sostituisce a(n-i) . Si dimostri che g è irriducibile .
Risposte
Semplicemente e più in generale sia [tex]A[/tex] un anello qualsiasi e supponiamo che [tex]\varphi : A[X] \to A[X][/tex] sia una biezione tale che [tex]\varphi(p(X) q(X)) = \varphi(p(X)) \varphi(q(X))[/tex]. Allora l'immagine di un polinomio irriducibile è ancora un polinomio irriducibile. Infatti, se [tex]p(X) \in A[X][/tex] è irriducibile, allora supponiamo per assurdo che [tex]q(X) = \varphi(p(X))[/tex] non lo sia; possiamo scrivere [tex]q(X) = q_1(X) q_2(X)[/tex], con [tex]q_1(X)[/tex] e [tex]q_2(X)[/tex] elementi non invertibili. Siccome la corrispondenza [tex]\varphi[/tex] è suriettiva, possiamo scrivere [tex]q_1(X) = \varphi(p_1(X))[/tex] e [tex]q_2(X) = \varphi(p_2(X))[/tex], con [tex]p_1(X)[/tex] e [tex]p_2(X)[/tex] non invertibili (perché?). Dall'iniettività e dall'uguaglianza [tex]\varphi(p(X)) = \varphi(p_1(X)) \varphi(p_2(X)) = \varphi(p_1(X) p_2(X))[/tex] segue allora che [tex]p(X) = p_1(X) p_2(X)[/tex], contraddicendo l'irriducibilità di [tex]p(X)[/tex], il che è assurdo.
Praticamente ti ho tolto il grosso del lavoro. Rimane da mostrare che la tua corrispondenza soddisfa le ipotesi della mia precedente "proposizione". Ti dico che questo è vero. Riesci a dimostrarlo?
P.S. Credo che questo sia grossomodo il modo più facile di risolvere questo esercizio. Per lo meno quello più naturale. Potrebbe darsi che l'abbia espresso in un modo un po' complicato, ma non c'è nulla di sostanzioso sotto. Prova a leggerlo, poi se qualcosa non ti convince chiedi pure!
Praticamente ti ho tolto il grosso del lavoro. Rimane da mostrare che la tua corrispondenza soddisfa le ipotesi della mia precedente "proposizione". Ti dico che questo è vero. Riesci a dimostrarlo?
P.S. Credo che questo sia grossomodo il modo più facile di risolvere questo esercizio. Per lo meno quello più naturale. Potrebbe darsi che l'abbia espresso in un modo un po' complicato, ma non c'è nulla di sostanzioso sotto. Prova a leggerlo, poi se qualcosa non ti convince chiedi pure!
Non mi è chiaro il modo in cui agisce la "biezione" che hai tirato in ballo .
Credo funzioni , resta solo da dimostrare che sia iniettiva !
Beh, il fatto che sia una biezione è la parte facile. Sei riuscito a mostrare che conserva il prodotto?
Per l'iniettività procedi by brute-force: se [tex]p(X) = a_0 + \ldots + a_n X^n[/tex] e [tex]q(X) = b_0 + \ldots + b_m X^m[/tex] sono tali che [tex]\varphi(p(X)) = \varphi(q(X))[/tex] allora si ha [tex]a_n + \ldots + a_0 X^n = b_m + \ldots + b_0 X^m[/tex], da cui per il principio di identità dei polinomi segue [tex]m = n[/tex] e [tex]a_i = b_i[/tex], ossia [tex]p(X) = q(X)[/tex].
Per l'iniettività procedi by brute-force: se [tex]p(X) = a_0 + \ldots + a_n X^n[/tex] e [tex]q(X) = b_0 + \ldots + b_m X^m[/tex] sono tali che [tex]\varphi(p(X)) = \varphi(q(X))[/tex] allora si ha [tex]a_n + \ldots + a_0 X^n = b_m + \ldots + b_0 X^m[/tex], da cui per il principio di identità dei polinomi segue [tex]m = n[/tex] e [tex]a_i = b_i[/tex], ossia [tex]p(X) = q(X)[/tex].
Well Done . 
Funziona tutto alla grande , soprattutto molto lineare ! Ti ringrazio per aver innestato i pistoni del mio cervello 
Funziona tutto alla grande , soprattutto molto lineare ! Ti ringrazio per aver innestato i pistoni del mio cervello
You're welcome!
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