Autovettori associati agli autovalori

[exSnake]

Dopo aver calcolato gli autovalori del polinomio caratteristico della matrice seguente:

\(\displaystyle
\left( \begin{array}{lll}
0 & 1 & -1 \\
1 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 0 \end{array} \right)
\)


che sono \(\displaystyle \lambda = -2 (singolo) , \lambda = 1 (doppio) \)

Mi ritrovo a dover calcolare se la matrice e diagonalizzabile, per farlo devo verificare che esista una base formata da autovettori di t.

Il problema e ricavare gli autovettori, infatti non riesco a risolvere il sistema lineare andando a sostituire il primo autovalore nella matrice associata, mi ritrovo con questo sistema lineare:.

\(\displaystyle

\begin{cases} -2x +y -z = 0 \\ x -2y +z = 0 \\ -x +y -2z = 0 \end{cases}

\)

Andando a per sostituzione finisco col concludere che sia x che y che z sono 0...

come dovrei procedere in questi casi?

Anche se sostituisco il secondo autovalore, e riduco a scalini, succede la stessa cosa

\(\displaystyle

\begin{cases} x+y-z = 0 \\ 2z =0 \\ 2y = 0 \end{cases}

\)

Come ricavo gli autovettori da qua?

[herstein]

Hai questa matrice $ ( ( 0 , 1 , -1 ),( 1 , 0 , 1 ),( -1 , 1 , 0) ) $
per calcolarti gli autovalori devi calcolare il det(A-yId)
det ( $ ( ( -y , 1 , -1 ),( 1 , -y , 1 ),( -1 , 1 , -y ) ) $) [applica Laplace]
ti trovi due autovalori:
y=-2(unico)
y=1(doppio)
Calcolo l'autovettore se il ker (A-Id) deve avere due dimensioni.
$ ( (-1 , 1 , -1 ),( 1 , -1, 1 ),( -1 , 1 , -1) ) $
$ { ( -x+y-z=0),( x-y+z=0 ),( -x+y-z=0 ):} $
fai i conti ed esce che le dimensioni del ker di f sono due e sono (1,1,0) (-1,0,1)
con l'altro autovalore -2, ricorda la regola, ovvero che
ker(A-(-2)Id) ed esce questo sistema
$ { ( 2x+y+z=0 ),( x+2y+z=0 ),( -x+y+2z=0 ):} $
esce fuori che la dimensione è 1 come (-1,1,-1)
Hai sbagliato la formula dell'autovettore, credo sia stato questo il problema, comunque la matrice diagonale è
$ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),(0, 0, -2 ) ) $

[exSnake]

"herstein":
$ { ( -x+y-z=0),( x-y+z=0 ),( -x+y-z=0 ):} $
fai i conti ed esce che le dimensioni del ker di f sono due e sono (1,1,0) (-1,0,1)
con l'altro autovalore -2, ricorda la regola, ovvero che
ker(A-(-2)Id) ed esce questo sistema
$ { ( 2x+y+z=0 ),( x+2y+z=0 ),( -x+y+2z=0 ):} $
esce fuori che la dimensione è 1 come (-1,1,-1)

Il problema e' proprio qui, come faccio i conti?

Se vado a sostituire calcolandomi \(\displaystyle x = y - z \) poi \(\displaystyle y \) e \(\displaystyle z \) sono uguali a zero, stessa cosa se metto \(\displaystyle x = t \) Quello che non capisco/ricordo e come si procede per risolvere il sistema