Automorfo di un gruppo ciclico d'ordine primo
ragazzi, potete fornirmi un link in cui si dimostra che se p è primo allora l'automorfo di un gruppo ciclico d'ordine p primo è isomorfo a un gruppo ciclico d'ordine p-1?
Risposte
Come sono fatti gli automorfismi di un gruppo ciclico? E quanti ce ne possono essere?
Non riesco anch'io a capire bene la domanda, comunque tento di dare una risposta sperando che sia quella esatta, un automorfismo deve portare necessariamente un generatore del gruppo ciclico $G$ in un altro generatore dello stesso gruppo $G$, quindi se $G=$ l'applicazione $a->a^i$ con $1<=i
Il gruppo degli automorfismi di un gruppo ciclico d'ordine n è dato dalla funzione di eulero.
Perché gli automorfismi di un gruppo abeliano sono tutti e soli quelli che mandano generatori in generatori che è noto essere in numero $phi(n)$.
Nel caso $n=p$ primo hai la tesi
Nel caso $n=p$ primo hai la tesi
Il motivo per cui l'automorfo di un gruppo di ordine primo $p$ risulta essere isomorfo ad un gruppo ciclico di ordine $p-1$, è a mio avviso dovuto al seguente corollario(Eulero, vedi Herstein), che afferma:
Se $n$ è un intero positivo ed $i$ è primo con $n$ allora $i^(phi(n))-=1(modn)$.
Infatti nel nostro caso specifico, se consideriamo la seguente permutazione $(a,a^i,(a^i)^i,a^(i^3),......a^i^(p-2))$
che possiamo scrivere anche con la simbologia $a->a^i,a^i->a^(i^2),a^(i^2)->a^(i^3),...........,a^(i^(p-2))->a^(i^(p-1))=a$ questa risulta avere periodo esattamente $(p-1)$, perchè $a=a^i^(p-1)$;
Infatti basta porre $n=p$ nel corollario sopra enunciato!
Possiamo fare un esempio con un gruppo di ordine $5$, in questo caso avremo posto $i=2$ la seguente permutazione di periodo
$4$, $(a=a^16,a^2,a^4,a^8,)$, oppure posto $i=3$ consideriamo la permutazione $(a=a^81,a^3,a^9,a^27)$, ecc. ecc., e così il problema è risolto.
Sperando di avere affermato delle cose esatte, se qualcuno vuole controllare,resto in attesa; Grazie!
Se $n$ è un intero positivo ed $i$ è primo con $n$ allora $i^(phi(n))-=1(modn)$.
Infatti nel nostro caso specifico, se consideriamo la seguente permutazione $(a,a^i,(a^i)^i,a^(i^3),......a^i^(p-2))$
che possiamo scrivere anche con la simbologia $a->a^i,a^i->a^(i^2),a^(i^2)->a^(i^3),...........,a^(i^(p-2))->a^(i^(p-1))=a$ questa risulta avere periodo esattamente $(p-1)$, perchè $a=a^i^(p-1)$;
Infatti basta porre $n=p$ nel corollario sopra enunciato!
Possiamo fare un esempio con un gruppo di ordine $5$, in questo caso avremo posto $i=2$ la seguente permutazione di periodo
$4$, $(a=a^16,a^2,a^4,a^8,)$, oppure posto $i=3$ consideriamo la permutazione $(a=a^81,a^3,a^9,a^27)$, ecc. ecc., e così il problema è risolto.
Sperando di avere affermato delle cose esatte, se qualcuno vuole controllare,resto in attesa; Grazie!
Resto in attesa; Grazie!
"francicko":Devi argomentare!
$a->a^i,a^i->a^(i^2),a^(i^2)->a^(i^3),...........,a^(i^(p-2))->a^(i^(p-1))=a$ questa risulta avere periodo esattamente $(p-1)$, perchè $a=a^i^(p-1)$;
In generale non è vero quello che dici se [tex]n[/tex] non è primo. Per esempio se [tex]n=12[/tex] allora preso [tex]i=5[/tex] (coprimo con [tex]12[/tex]) si ha [tex]i^2 \equiv 1[/tex] modulo [tex]n[/tex], quindi la lunghezza del ciclo [tex](a,a^i,a^{i^2},...)[/tex] in questo caso non è [tex]\phi(n)=4[/tex] ma [tex]2[/tex].
Devi usare il fatto che in questo caso particolare [tex]n[/tex] è primo.
xMartino.
Si hai ragione, non ho sufficientemente argomentato, provo a rimediare.
In questo caso essendo il gruppo di ordine $p$ primo, quindi il numero degli interi coprimi con $p$ sarà esattamente $phi(p)=p-1$, ed essendo $(i,p)=1$ si avrà $i^(p-1)-=1(modp)$. Così avremo $a=(a^i) ^(p-1)$, e la permutazione considerata avrà periodo
$p-1$. Chiaramente se l'ordine di $G$ è un numero $n$ non primo sicuramente l'ordine di tale permutazione non potrà mai essere
$n-1$, risultando $phi(n)
Si hai ragione, non ho sufficientemente argomentato, provo a rimediare.
In questo caso essendo il gruppo di ordine $p$ primo, quindi il numero degli interi coprimi con $p$ sarà esattamente $phi(p)=p-1$, ed essendo $(i,p)=1$ si avrà $i^(p-1)-=1(modp)$. Così avremo $a=(a^i) ^(p-1)$, e la permutazione considerata avrà periodo
$p-1$. Chiaramente se l'ordine di $G$ è un numero $n$ non primo sicuramente l'ordine di tale permutazione non potrà mai essere
$n-1$, risultando $phi(n)
"francicko":Beh, non hai detto nulla in piu' rispetto a prima. Rimane non giustificato il fatto che il periodo e' [tex]p-1[/tex] e non un divisore proprio.
In questo caso essendo il gruppo di ordine $p$ primo, quindi il numero degli interi coprimi con $p$ sarà esattamente $phi(p)=p-1$, ed essendo $(i,p)=1$ si avrà $i^(p-1)-=1(modp)$. Così avremo $a=a^i^(p-1)$, e la permutazione considerata avrà periodo $p-1$.
Quello che dici in realta' e' falso: prendi [tex]p=5[/tex] e [tex]i=4[/tex]. Certamente [tex]i[/tex] e [tex]p[/tex] sono coprimi. Eppure [tex]i^2 \equiv 1[/tex] modulo [tex]p[/tex], quindi la tua permutazione avra' ordine [tex]2[/tex], non [tex]4[/tex].
Il fatto che [tex]i^{p-1} \equiv 1\ \mod(p)[/tex] ti dice solo che l'ordine di [tex]i[/tex] modulo [tex]p[/tex] divide [tex]p-1[/tex].
Devi riuscire a scegliere [tex]i[/tex] in modo tale che si abbia [tex]i^k \not \equiv 1[/tex] modulo [tex]p[/tex] per ogni divisore proprio [tex]k[/tex] di [tex]p-1[/tex].
xMartino.
Hai ragione!!
Scusa, non ho preso in considerazione la minimalità, pertanto non ho affatto dimostrato che il periodo della permutazione è $p-1$, come tu giustamente asserisci!
Indagando un pò più a fondo, sull'Herstein e navigando in rete, ho trovato l'esistenza del gruppo moltiplicativo degli interi che viene
solitamente indicato con $U_n$, cioé l'insieme degli interi primi con $n$ con la moltiplicazione $mod(n)$.
Secondo l'enunciato di un teorema che ho letto in rete, se $p$ é primo il gruppo moltiplicativo degli interi modulo $p$ costituito dalle classi $[1],[2],......,[p-1]$, è ciclico , quindi possiede un generatore, precisamente un intero di ordine $p-1$, a questo punto mi son detto, il problema è risolto, infatti sia $i$ tale intero, e risulterà, essendo $i^(p-1) in [1]$, $i^(p-1)-=1mod(p)$, e posso affermare così con certezza che il periodo della permutazione $(a^(p-1)=a,a^i,a^(i^2),.....,a^i^(p-2))$, é $p-1$. Quindi il succo della dimostrazione sta nel fatto che quando $p$ è primo il gruppo moltiplicativo degli interi $U_p$ è ciclico, e pertanto ha un intero generatore. Si vede così che il gruppo $U_p$ risulta isomorfo al gruppo degli automorfismi di un gruppo di ordine primo $p$.
Sperando che sia finalmente arrivato alla corretta soluzione, attendo conferma e rinnovo i cordiali saluti!
Hai ragione!!
Scusa, non ho preso in considerazione la minimalità, pertanto non ho affatto dimostrato che il periodo della permutazione è $p-1$, come tu giustamente asserisci!
Indagando un pò più a fondo, sull'Herstein e navigando in rete, ho trovato l'esistenza del gruppo moltiplicativo degli interi che viene
solitamente indicato con $U_n$, cioé l'insieme degli interi primi con $n$ con la moltiplicazione $mod(n)$.
Secondo l'enunciato di un teorema che ho letto in rete, se $p$ é primo il gruppo moltiplicativo degli interi modulo $p$ costituito dalle classi $[1],[2],......,[p-1]$, è ciclico , quindi possiede un generatore, precisamente un intero di ordine $p-1$, a questo punto mi son detto, il problema è risolto, infatti sia $i$ tale intero, e risulterà, essendo $i^(p-1) in [1]$, $i^(p-1)-=1mod(p)$, e posso affermare così con certezza che il periodo della permutazione $(a^(p-1)=a,a^i,a^(i^2),.....,a^i^(p-2))$, é $p-1$. Quindi il succo della dimostrazione sta nel fatto che quando $p$ è primo il gruppo moltiplicativo degli interi $U_p$ è ciclico, e pertanto ha un intero generatore. Si vede così che il gruppo $U_p$ risulta isomorfo al gruppo degli automorfismi di un gruppo di ordine primo $p$.
Sperando che sia finalmente arrivato alla corretta soluzione, attendo conferma e rinnovo i cordiali saluti!
Allora, provo a dare una risposta in un unico topic; vi prego di corregere se quanto detto non è esatto od esaustivo, visto che devo arrivare ad una risposta completa:
Sappiamo che l'automorfo di un gruppo ciclico d'ordine finito m è isomorfo al gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili degli interi modulo m.
In particolar modo l'automorfo di gruppo ciclico d'ordine finito primo p è isomorfo al gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili degli interi modulo p.
In tale insieme tutti gli elementi non nulli sono invertibili è poichè l'unica classe nulla è 0 modulo p si ha che gli elementi invertibili degli interi modulo p sono in numero p-1; ma l'automorfo del nostro gruppo ciclico d'ordine primo è isomorfo a tale insieme e quindi anche gli elementi dell'automorfo sono in numero p-1.
Sappiamo che l'automorfo di un gruppo ciclico d'ordine finito m è isomorfo al gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili degli interi modulo m.
In particolar modo l'automorfo di gruppo ciclico d'ordine finito primo p è isomorfo al gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili degli interi modulo p.
In tale insieme tutti gli elementi non nulli sono invertibili è poichè l'unica classe nulla è 0 modulo p si ha che gli elementi invertibili degli interi modulo p sono in numero p-1; ma l'automorfo del nostro gruppo ciclico d'ordine primo è isomorfo a tale insieme e quindi anche gli elementi dell'automorfo sono in numero p-1.
biggest, cosi' hai mostrato che [tex]\text{Aut}(C_p)[/tex] ha ordine [tex]p-1[/tex], ma resta da mostrare che e' ciclico. Vedi il mio intervento precedente.
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