Automorfismi estensioni di campo
Sia $F$ un campo ed $alpha$ un elemento algebrico su $F$, quanti automorfismi che fissano ogni elemento di$F$,avrà l'estensione $F(alpha)$?
Risposte
Dipende. Se $\alpha$ è puramente inseparabile, solo l'identità.
Scusa cosa si intende per puramente inseparabile?
Supponiamo allora $F=Q$ campo dei razionali, ed $alpha$ algebrico, $p(x)$ il polinomio minimo di grado $n$ tale che $p(alpha) =0$ e sia il suo campo di spezzamento $E=Q(alpha)$ allora avremo esattamente $n$ automorfismi, mi sbaglio?
"francicko":
Supponiamo allora $F=Q$ campo dei razionali, ed $alpha$ algebrico, $p(x)$ il polinomio minimo di grado $n$ tale che $p(alpha) =0$ e sia il suo campo di spezzamento $E=Q(alpha)$ allora avremo esattamente $n$ automorfismi, mi sbaglio?
Avevi fatto esattamente la stessa domanda qui, e hai ricevuto risposte.
Si, hai ragione!
Però ora mi stavo chiedendo se $Q(alpha)$ è un campo, preso un elemento $beta$ non appartenente a $Q(alpha) $ come deve essere fatta l'estensione $Q(alpha, beta) $ affinché sia anch'essa un campo?
Però ora mi stavo chiedendo se $Q(alpha)$ è un campo, preso un elemento $beta$ non appartenente a $Q(alpha) $ come deve essere fatta l'estensione $Q(alpha, beta) $ affinché sia anch'essa un campo?
\(\mathbb Q(a,b)\) è un campo per definizione; tu cosa vuoi, un'estensione di anelli \(R[a]\), e condizioni sull'elemento che aggiungi affinché \(R[a]=R(a)\)? Queste sono semplici da formulare in termini della riducibilità di $a$.
$Q(alpha) $ è un campo se $alpha$ è algebrico su $Q$, poiche il suo polinomio minimo è irriducibile in $Q$, mi garantisce che tutti gli elementi compreso gli inversi stanno effettivamente in $Q(alpha)$ se aggiungo un altro elemento $beta$, questo potrebbe essere algebrico ad esempio su $Q(alpha)$ ma non su $Q$.
"francicko":
$Q(alpha) $ è un campo se $alpha$ è algebrico su $Q$
Come ti ha detto megas_archon, $\mathbb Q(\alpha)$ è un campo per definizione.
Per completezza aggiungo che la definizione di $K(alpha)$ è la seguente: "il campo generato da $K$ e da $alpha$", che è anche uguale all'insieme di tutti gli elementi della forma
$(P(alpha))/(Q(alpha))$
dove $P(X)$, $Q(X)$ sono polinomi con coefficienti in $K$ e tali che $Q(alpha) ne 0$.
$(P(alpha))/(Q(alpha))$
dove $P(X)$, $Q(X)$ sono polinomi con coefficienti in $K$ e tali che $Q(alpha) ne 0$.
Grazie per le risposte!
Da quello che ho capito se F è un campo nello specifico $Q$ dei razionali, ed $alpha$ è algebrico su $Q$ allora risulta $Q[alpha] =Q(alpha) $ in quanto il suo polinomio minimo $p(x) $ di grado $n$ tale che $p(alpha) =0$ è irriducibile in $Q$, cioè primo, pertanto anche $F[x]//p(x)$ è un campo, allora anche $Q[alpha] $ è un campo e risulta $Q[alpha] =Q(alpha) $, ed ogni elemento del campo $Q(alpha) $ sarà della forma $a_0+a_1alpha+a_2alpha+.... +a_ialpha$ con $i
Da quello che ho capito se F è un campo nello specifico $Q$ dei razionali, ed $alpha$ è algebrico su $Q$ allora risulta $Q[alpha] =Q(alpha) $ in quanto il suo polinomio minimo $p(x) $ di grado $n$ tale che $p(alpha) =0$ è irriducibile in $Q$, cioè primo, pertanto anche $F[x]//p(x)$ è un campo, allora anche $Q[alpha] $ è un campo e risulta $Q[alpha] =Q(alpha) $, ed ogni elemento del campo $Q(alpha) $ sarà della forma $a_0+a_1alpha+a_2alpha+.... +a_ialpha$ con $i
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo