Automorfismi di un estensione che scambiano due radici.

[Angus1956]

Sia $KsubeLsubeCC$ un'estensione di campi, $finK[x]$ irriducibile e $L$ il campo di spezzamento di $f$. Siano $alpha, beta$ radici di $f$ e $G=Gal(L//K)$. Mostrare che esiste $\tauinG$ tale che $\tau(alpha)=beta$.
Noi sappiamo che esiste un isomorfismo tra $K[alpha]$ e $K[beta]$ che fissa gli elementi di $K$ e manda $alpha$ in $beta$. Inoltre siccome $L$ campo di spezzamento allora è estensione normale quindi i $K$-isomorfismi di $L$ sono tutti automorfismi. E infine sappiamo che il campo di spezzamento di un polinomio è unico a meno di isomorfismo. Ma non so bene come mostrare che esiste $\tau:L->L$ tale che $\tau(alpha)=beta$. Anche perchè non è detto che $L=K[alpha]$.

[Martino]

Dovresti aver studiato un teorema di estensione che dice che ogni isomorfismo tra campi intermedi si estende ai relativi campi di spezzamento.

[Angus1956]

"Martino":Dovresti aver studiato un teorema di estensione che dice che ogni isomorfismo tra campi intermedi si estende ai relativi campi di spezzamento.

In teoria nella dimostrazione di unicità del campo di spezzamento si fa qualcosa del genere, facendo induzione sul grado di $L$ (oppure $L'$) su $K$, si prendono due radici, $alpha$ e $beta$, del polinomio rispettivamente nei campi di spezzamento, si fa il quoziente per il polinomio che ha come radici $alpha$ e $beta$ e poi usando l'induzione sul grado si ha un isomorfismo tra i due campi di spezzamento che fissa gli elementi del quoziente e quindi in particolare fissa gli elementi di $K$ e poi manda $alpha$ in $beta$.
Intendo questo per chiarezza:

[Martino]

Se ripercorri la dimostrazione del teorema che hai riportato, con le dovute modifiche, ottieni che l'isomorfismo tra $K(alpha)$ e $K(beta)$ si estende a un isomorfismo $L to L$.