Automorfismi dei gruppi di ordine primo
"francicko":
Su un testo si proponeva di risolvere il seguente quesito: quanti automorfismi possiede un gruppo G di ordine primo p?
Procedevo nel seguente modo per la risoluzione del problema:
...
[mod="Fioravante Patrone"]NB: cancellato per problemi di linee troppo lunghe (vedi richiesta di dissonance sotto). Il testo, correttamente scritto in MathML, è nel post seguente.[/mod]
Risposte
"francicko":
Su un testo si proponeva di risolvere il seguente quesito: quanti automorfismi possiede un gruppo G di ordine primo p?
Procedevo nel seguente modo per la risoluzione del problema:
...
[mod="Fioravante Patrone"]Ciao, ho fatto un po' di editing. Vedi sotto. Dai un'occhiata al tuo e al mio post per vedere dove sbagliavi. E mi raccomando la spaziatura corretta per la punteggiatura
Già che c'ero, ho aperto un nuovo thread, come chiesto da Martino.[/mod]
Su un testo si proponeva di risolvere il seguente quesito: quanti automorfismi possiede un gruppo $G$ di ordine primo $p$?
Procedevo nel seguente modo per la risoluzione del problema:
comunque presi $a,b$ elementi generici appartenenti a $(G,*)$ avremo $(a)^t*(b)^t =(a*b)^t$ con $t$ che varia nell'insieme $(1,2,3,...p-1)$, la relazione suddetta è valida in quanto $G$ ciclico e quindi abeliano; Di conseguenza l'applicazione che porta l'elemento generico $x$ appartenente a $G$ in $x^t$ è un omomorfismo il cui nucleo risulta essere costituito dal solo elemento neutro, in quanto $G$ essendo di ordine primo, non può possedere sottogruppi non banali , pertanto l'applicazione è iniettiva ed essendo $G$ finito anche suriettiva , quindi trattasi di un automorfismo. Variando $t$ nell'insieme $(1,2,3,...p-1)$ avrò esattamente $p-1$ automorfismi del tipo sudetto.
Viceversa comunque preso un automorfismo $f$ ed un elemento generico $x$ diverso dall' elemento neutro l'immagine $f(x)$ risulterà essere potenza di $x$ in quanto quest'ultimo sarà sicuramente generatore(per il teorema di lagrange), quindi avrò $f(x)=x^t$ con $t$ appartenente all'insieme $(1,2,3,....p-1)$, ma $x^t$ risulterà anch'esso generatore pertanto ogni elemento di $G$ diverso dall'elemento neutro si potrà scrivere come potenza di $x^t$ quindi avremo: $x^t*x^t*x^t....*x^t=( xxx...x)^t$ cioè l'automorfismo risulta essere della forma suddetta, pertanto posso affermare che vi sono esattamente $p-1$ automorfismi.
Inoltre osservavo che se $G$ non fosse di ordine primo $p$ ma di ordine $n$ non primo, so da un elementare teorema che avrà un sottogruppo per ogni divisore dell'ordine di $G$, quindi il nucleo di tale omomorfismo sarà costituito dal solo elemento neutro quando per $t$ che varia nell'insieme $(1,2,3,...n-1)$ si ha $(t,n)=1$ cioè quando $t$ ed $n$ sono coprimi. In questo caso $tx$ risulterà essere infatti generatore, quindi avrò esattamente tanti automorfismi quanti sono gli elementi coprimi con $n$ cioè la funzione di Eulero. Riassumendo applicando la funzione di eulero all'ordine $n$ generico di un gruppo $G$ finito otterrò il numero degli automorfismi del gruppo in questione.Vorrei un giudizio sull'esattezza o meno dell'esposto, grazie.
[mod="Fioravante Patrone"]NB: cancellato anche qui il post originario per problemi di linee troppo lunghe (vedi richiesta di dissonance sotto). Spero che francicko abbia avuto tempo di "imparare".[/mod]
Anche io credo che in un gruppo di ordine $p$ gli automorfismi siano $p-1$, ma assolutamente non ho l'autorevolezza per dire se è giusto o meno.
Quanto alla seconda parte c'è un errore di fondo importante. Se un gruppo ha ordine $n$ non è detto che esista un sottogruppo di ordine $h$ con $h$ che divide $n$. Il th. di Lagrange ti dice che tale gruppo ha ordine che divide $n$, ma non ne assicura l'esistenza.
Classico esempio: $A_4$ ha ordine $12$ ma non ha un sottogruppo di ordine $6$.
Ciò inficia anche il tuo ragionamento, anche perchè considerando il gruppo diedrale $D_n$ i suoi automorfismi sono in un numero $nphi(n)$.
Quanto alla seconda parte c'è un errore di fondo importante. Se un gruppo ha ordine $n$ non è detto che esista un sottogruppo di ordine $h$ con $h$ che divide $n$. Il th. di Lagrange ti dice che tale gruppo ha ordine che divide $n$, ma non ne assicura l'esistenza.
Classico esempio: $A_4$ ha ordine $12$ ma non ha un sottogruppo di ordine $6$.
Ciò inficia anche il tuo ragionamento, anche perchè considerando il gruppo diedrale $D_n$ i suoi automorfismi sono in un numero $nphi(n)$.
Mi scuso per l'esposizione poco chiara dovuta al fatto che ho poca dimestichezza con la tastiera del computer ed all'uso delle formule
del forum, sto cercando di migliorare con l'allenamento e commetto ahimè degli errori grossolani,, per quanto riguarda la prima parte del problema da me posto sul fatto che un gruppo di ordine primo p ha p-1 automorfismi,mi sentirei anch'io di asserirlo con certezza , forse la dimostrazione presenta qualche inesattezza nel linguaggio, ma complessivamente credo che il ragionamento sia esatto; per quanto riguarda la seconda parte credo che la sua osservazione sia più che giusta, infatti mi sono dimenticato di specificare che si tratta di un gruppo "ciclico" finito di ordine n;
nel caso infatti in cui n non risultasse primo, allora avrei tanti automorfismi quanti sono i generatori del gruppo,cioè si ha l'automorfismo quando l'esponente t risulta essere coprimo con n, in simboli quando (t,n)=1, ma il numero degli esponti t coprimi con n
altro non è che il valore che la funzione di eulero assume per il valore n.
In attesa di una sua risposta le invio cordiali saluti!
del forum, sto cercando di migliorare con l'allenamento e commetto ahimè degli errori grossolani,, per quanto riguarda la prima parte del problema da me posto sul fatto che un gruppo di ordine primo p ha p-1 automorfismi,mi sentirei anch'io di asserirlo con certezza , forse la dimostrazione presenta qualche inesattezza nel linguaggio, ma complessivamente credo che il ragionamento sia esatto; per quanto riguarda la seconda parte credo che la sua osservazione sia più che giusta, infatti mi sono dimenticato di specificare che si tratta di un gruppo "ciclico" finito di ordine n;
nel caso infatti in cui n non risultasse primo, allora avrei tanti automorfismi quanti sono i generatori del gruppo,cioè si ha l'automorfismo quando l'esponente t risulta essere coprimo con n, in simboli quando (t,n)=1, ma il numero degli esponti t coprimi con n
altro non è che il valore che la funzione di eulero assume per il valore n.
In attesa di una sua risposta le invio cordiali saluti!
"francicko":
In attesa di una sua risposta le invio cordiali saluti!
Ciao,
ti ho cancellato un messaggio duplicato (avesti potutto farlo tu stesso).
Se l'ultima riga è rivolta a me, dammi del tu, ma non aspettarti che ti risponda nel merito. Il "lavoro" di amministratore e il mio vero lavoro mi permettono raramente di intervenire sulle questioni matematiche. E poi l'esame di algebra l'ho dato nel 1970
Sentirmi dare del lei però a 21 anni mi fa sentire vecchio 
... dammi ovviamente del tu, sui forum si usa così! 
Se consideri un gruppo ciclico di ordine $n$ con $n$ non primo credo che il tuo ragionamento dovrebbe funzionare.
... dammi ovviamente del tu, sui forum si usa così! Se consideri un gruppo ciclico di ordine $n$ con $n$ non primo credo che il tuo ragionamento dovrebbe funzionare.
Osservo che preso il gruppo ciclico di ordine 4 esso avrà esattamente due automorfimi. Preso l'altro gruppo di ordine 4, abeliano ma non ciclico ovviamente risultante dal prodotto diretto di due gruppi di ordine 2 quest'ultimo avrà secondo me esattamente 3! =6 automorfismi infatti a mio parere a parte l'elemento neutro che deve restare necessariamente fissato gli altri 3 elementi restanti si possono scambiare vicendevolmente come si vuole senza alterare la struttura del gruppo in quanto tali elementi sono in perfetta simmetria tra di loro, é vero?
In effetti, per $ZZ_2 \times ZZ_2$ sembra che funzioni, per gli altri potrebbe. In realtà l'unica cosa che potrebbe dar fastidio è la possibilità che con vari "accoppiamenti" si perda l'omomorfismo...
Magari in gruppi con cardinalità maggiore...
Però l'idea di massima mi sembra giusta... si tratta di fare un po' di prove con gruppi più ampi e vedere un po' che accade!
Magari in gruppi con cardinalità maggiore...
Però l'idea di massima mi sembra giusta... si tratta di fare un po' di prove con gruppi più ampi e vedere un po' che accade!
Per favore, francicko o qualche mod/admin che passa di qui, rimuovete le lunghissime righe in MathML del primo post. Soluzione cruda ma efficace: rimuovere tutto il primo post. Altrimenti la schermata scorre orizzontalmente e la lettura è difficile.
Confermo la prima parte della domanda di francicko per i gruppi di ordine primo!
Il resto è stato smentito da mistake89; altre questioni non le ho ancora analizzate, riferirò.
Il resto è stato smentito da mistake89; altre questioni non le ho ancora analizzate, riferirò.
Sull'altra questione hai ragione (francicko) solo per i gruppi ciclici finiti!
Beh sì, anche perché in $ZZ$ (e quindi in tutti i gruppi ciclici infiniti) gli automorfismi dovrebbero essere $2$.
Sia$G$ finito di ordine primo p mi chiedevo quanti automorfimi possiede il gruppo prodotto $GxG$?
"francicko":Se ne è parlato qui.
Sia$G$ finito di ordine primo p mi chiedevo quanti automorfimi possiede il gruppo prodotto $GxG$?
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