Automorfismi
Ciao a tutti!
ho qualche problema nel risolvere un esercizio di algebra,
non capisco bene come fare a trovare tutti gli automorfismi di S[size=75]3[/size]...
Grazie mille a chiunque mi dia una mano!
ho qualche problema nel risolvere un esercizio di algebra,
non capisco bene come fare a trovare tutti gli automorfismi di S[size=75]3[/size]...
Grazie mille a chiunque mi dia una mano!
Risposte
Devi considerare le caratteristiche dell'automorfismo... Considendo che $S_3 = D_3$ (forse tu lo chiami $D_6$ comunque è il gruppo delle isometrie del triangolo equilatero) puoi anche usare quello...
Per prima cosa un $3$-ciclo viene mandato in un $3$-ciclo e un $2$-ciclo in un $2$-ciclo. Ora tieni conto di tre cose:
1) $S_3$ è generato dai $2$-cicli.
2) Ogni automorfismo è una permutazione dei $2$-cicli (prova a pensarci)
3) $S_3$ è contenuto dentro il suo gruppo degli autormorfismi.
Il risultato che incontrerai vale per quasi tutti gli $S_n$.
Per prima cosa un $3$-ciclo viene mandato in un $3$-ciclo e un $2$-ciclo in un $2$-ciclo. Ora tieni conto di tre cose:
1) $S_3$ è generato dai $2$-cicli.
2) Ogni automorfismo è una permutazione dei $2$-cicli (prova a pensarci)
3) $S_3$ è contenuto dentro il suo gruppo degli autormorfismi.
Il risultato che incontrerai vale per quasi tutti gli $S_n$.
uhm... Ok, quindi se ho capito bene i 2-cicli sono 3 e quindi dovrei avere ...6 automorfismi diversi
in base alle varie scelte... Giusto?
in base alle varie scelte... Giusto?
Si, esatto... Il gruppo degli automorfismi di $S_3$ è $S_3$ stesso...
In generale $Aut(S_n)$ è isomorfo a $S_n$ per ogni $n geq 3, n != 6$.
"NightKnight":
In generale $Aut(S_n)$ è isomorfo a $S_n$ per ogni $n geq 3, n != 6$.
La dimostrazione non è proprio banale però...
Wow! ma come sai queste cose su $S_n$?
Hai qualche bel libro da consigliare..o sono cose che tutti dovremmo sapere (ma che io non so)?
E come si dimostra il teorema citato?
Sto seguendo un corso di teoria delle rappresentazioni, dal programma vedo che parleremo di $S_n$, è questa la risposta? si fa in teoria delle rappresentazioni?
Hai qualche bel libro da consigliare..o sono cose che tutti dovremmo sapere (ma che io non so)?
E come si dimostra il teorema citato?
Sto seguendo un corso di teoria delle rappresentazioni, dal programma vedo che parleremo di $S_n$, è questa la risposta? si fa in teoria delle rappresentazioni?
Mmmmmh, no, non credo servano le rappresentazioni. Molti libri di teoria dei gruppi contiengono questo risultato. Sul Rotman, per esempio, è nel capitolo sulle estensioni.
Seguendo il Rotman (ho visto dimostrazioni diverse)...
$S_n$ è generato dai $2$-cicli nella forma $(1 k)$ per qualche $k$ e quindi l'immagine dei $2$-cicli determina l'omomorfismo. Va quindi dimostrato (1) che l'immagine di un $2$-ciclo è un $2$-ciclo (se $n\ne6$ e maggiore o uguale a $3$) e (2) che ogni omomorfismo che permuta i $2$-cicli è interno. Bisogna poi far vedere che nel caso $n=6$ esiste un automorfismo esterno. La dimostrazioni non sono difficili da comprendere ma sono un po' lunghe... Ti suggerisco quindi di andarlo a vedere.
Se non lo trovi vedrò di riassumere la dimostrazione tagliando sulle parti di calcoli.
Seguendo il Rotman (ho visto dimostrazioni diverse)...
$S_n$ è generato dai $2$-cicli nella forma $(1 k)$ per qualche $k$ e quindi l'immagine dei $2$-cicli determina l'omomorfismo. Va quindi dimostrato (1) che l'immagine di un $2$-ciclo è un $2$-ciclo (se $n\ne6$ e maggiore o uguale a $3$) e (2) che ogni omomorfismo che permuta i $2$-cicli è interno. Bisogna poi far vedere che nel caso $n=6$ esiste un automorfismo esterno. La dimostrazioni non sono difficili da comprendere ma sono un po' lunghe... Ti suggerisco quindi di andarlo a vedere.
Se non lo trovi vedrò di riassumere la dimostrazione tagliando sulle parti di calcoli.
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