Automorfismi.

[mmattiak]

Ragazzi, sapreste elencarmi gli automorfismi di Z in Z?

[Trilogy]

Sono solo due, direi. Uno è l'identità, l'altro è $x\mapsto -x$.

Prova a dimostrare che questi sono automorfismi, e poi che sono gli unici.

[mmattiak]

E gli automorfismi di Zn?

[mmattiak]

Sbaglio a dire che gli automorfismi di un gruppo finito in un gruppo finito di cardinalità N, sono N!?

[Martino]

Sì, per esempio [tex]\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[/tex] ha un solo automorfismo (l'identità).

[Trilogy]

E in generale se devi mandare l'elemento neutro in se stesso, non puoi assegnargli come valore un altro elemento qualsiasi... Prova magari a ragionare in termini di generatori, per quanto riguarda gli $\mathbb Z_n$.

[Epimenide93]

Quel che proponi vale sicuramente per i gruppi ciclici di ordine primo e come ha fatto notare Martino non è vero in generale. Mi chiedo se esistano gruppi non ciclici per i quali è possibile una cosa del genere.

[Martino]

Come fa notare Trilogy un gruppo di ordine [tex]n[/tex] ha al più [tex](n-1)![/tex] automorfismi (l'elemento neutro è lasciato fisso).

"Epimenide93":Mi chiedo se esistano gruppi non ciclici per i quali è possibile una cosa del genere.

Per i quali è possibile cosa? Scusa non capisco.

[Epimenide93]

EDIT: niente, stavo erroneamente ragionando come se un gruppo ciclico di ordine \(p\) primo avesse esattamente \(p\) automorfismi. Ovviamente ne ha \(p-1\) perché il generatore non può andare a finire nell'elemento neutro, quindi niente.

La mia richiesta quindi è (in forma corretta): è possibile trovare qualche esempio di gruppo di ordine \(n\) con esattamente \(n\) automorfismi? (Oltre al gruppo banale con l'identità.)

[Martino]

Il gruppo diedrale [tex]D_4[/tex] (di ordine 8) ha [tex]\mbox{Aut}(D_4) \cong D_4[/tex], e il gruppo simmetrico [tex]S_n[/tex] se [tex]n \geq 3[/tex] e [tex]n \neq 6[/tex] ha [tex]\mbox{Aut}(S_n) \cong S_n[/tex].

Ma c'è di più: se [tex]G[/tex] è un gruppo finito di centro identico allora c'è un risultato di Wielandt (1939) che dice che la successione [tex]G,\ \mbox{Aut}(G),\ \mbox{Aut}(\mbox{Aut}(G)),\ \mbox{Aut}(\mbox{Aut}(\mbox{Aut}(G))),\ \ldots[/tex] termina dopo un numero finito di passi, in altre parole se definiamo [tex]\mbox{Aut}^0(G) := G[/tex] e [tex]\mbox{Aut}^n(G) := \mbox{Aut}(\mbox{Aut}^{n-1}(G))[/tex] allora esiste [tex]N \in \mathbb{N}[/tex] con [tex]\mbox{Aut}^N(G) \cong \mbox{Aut}^{N+1}(G) \cong \mbox{Aut}^{N+2}(G) \cong \ldots[/tex]. Per esempio se [tex]S[/tex] è un gruppo semplice non abeliano allora [tex]\mbox{Aut}(\mbox{Aut}(S)) \cong \mbox{Aut}(S)[/tex]. Vedi per esempio qui(1) e qui(2).

[Epimenide93]

Fantastico! Grazie mille!