Assiomi di numerabilità
Non riesco a capire il fatto che il secondo assioma di numerabilità (2A) implica il primo (1A).
Per la definizione wiki:
http://en.wikipedia.org/wiki/First-countable_space
http://en.wikipedia.org/wiki/Second-countable_space
Qualcuno mi sa illuminare?
Inoltre è possibile avere un esempio di uno spazio (1A) che non è (2A), di uno spazio che non è (1A)?
Grazie mille!
Per la definizione wiki:
http://en.wikipedia.org/wiki/First-countable_space
http://en.wikipedia.org/wiki/Second-countable_space
Qualcuno mi sa illuminare?
Inoltre è possibile avere un esempio di uno spazio (1A) che non è (2A), di uno spazio che non è (1A)?
Grazie mille!
Risposte
Se di una topologia conosci una base, allora conosci anche una base locale: se la base è $B={B_\alpha|\alpha\inI}$, con I un qualsiasi insieme di indici, comunque scegli $x_0$ risulta che la famiglia degli aperti della base contenente $x_0$ (chiamiamola $B_{x_0}$) è una base locale. Infatti ogni intorno di $x_0$ deve contenere un aperto, che a sua volta conterrà $x_0$. Ma siccome $B$ è una base, questo aperto sarà unione di suoi elementi: almeno uno tra questi deve contenere $x_0$ e quindi appartenere a $B_{x_0}$. Perciò ogni intorno di $x_0$ contiene (almeno) un elemento di $B_{x_0}$.
In particolare se la tua $B$ è numerabile, a maggior ragione lo sarà la tua $B_{x_0}$.
Non vale il viceversa: per esempio ogni spazio metrico è a base locale numerabile. Però esistono spazi metrici che non ammettono una base numerabile.
Un altro esempio è $RR_l$, ovvero $RR$ con la topologia generata dagli intervalli $[a,b)$: non può ammettere una base numerabile perché ogni base deve contenere almeno un $[a, a+\delta)$, $\forall a\inRR$. Questo spazio ammette però una base locale numerabile per ogni punto: ${[x_0, x_0+1/n)}$ è una possibilità.
Poi ci sono spazi che non hanno nemmeno una base locale numerabile, ma in questo momento non mi viene in mente nessun esempio
...
In particolare se la tua $B$ è numerabile, a maggior ragione lo sarà la tua $B_{x_0}$.
Non vale il viceversa: per esempio ogni spazio metrico è a base locale numerabile. Però esistono spazi metrici che non ammettono una base numerabile.
Un altro esempio è $RR_l$, ovvero $RR$ con la topologia generata dagli intervalli $[a,b)$: non può ammettere una base numerabile perché ogni base deve contenere almeno un $[a, a+\delta)$, $\forall a\inRR$. Questo spazio ammette però una base locale numerabile per ogni punto: ${[x_0, x_0+1/n)}$ è una possibilità.
Poi ci sono spazi che non hanno nemmeno una base locale numerabile, ma in questo momento non mi viene in mente nessun esempio
...
Ok capito. Grazie mille!
Un esempio di uno spazio non (1A) potrebbe essere $RR$ con la topologia cofinita?
Un esempio di uno spazio non (1A) potrebbe essere $RR$ con la topologia cofinita?
Sì mi pare che vada bene.
Se ci fosse una base numerabile per (ad esempio) $0$, questa sarebbe una cosa del genere:
$B={RR-{x_0^alpha,ldots,x_n^alpha}|alpha\inI}$ perciò $nnB=RR-{x_n|n\inNN}!=\emptyset$ ($RR$ non è numerabile). Allora prendendo un $y\notin{x_n}_{n\inNN}, y\ne0$ ottieni $RR-{y}$ intorno di $0$ che non può contenere nessun elemento di $B$.
Quindi questo spazio non è 1-numerabile. Perfetto!
Quando uno spazio $X$ non è 1-numerabile, succedono alcuni guai con le successioni:
-non è detto che se $A\subX$, $x$ di accumulazione per $A$, allora esiste $(x_n)$ successione di elementi di $A$ , $x_n\tox$.
-non è detto che se $(x_n)$ è una successione in $X$, $x$ è un punto di accumulazione per l'insieme ${x_n | n\inNN}$, allora esiste una sottosuccessione convergente ad $x$.
e poi ce ne saranno chissà quanti altri, ma solo questi sono quelli che mi ricordo!
Se qualcuno ha tempo e voglia potrebbe essere un esercizio simpatico costruire dei controesempi sfruttando il fatto che $RR$ con la topologia cofinita non è 1-numerabile. Il secondo punto, a occhio, mi pare più abbordabile.
Se ci fosse una base numerabile per (ad esempio) $0$, questa sarebbe una cosa del genere:
$B={RR-{x_0^alpha,ldots,x_n^alpha}|alpha\inI}$ perciò $nnB=RR-{x_n|n\inNN}!=\emptyset$ ($RR$ non è numerabile). Allora prendendo un $y\notin{x_n}_{n\inNN}, y\ne0$ ottieni $RR-{y}$ intorno di $0$ che non può contenere nessun elemento di $B$.
Quindi questo spazio non è 1-numerabile. Perfetto!
Quando uno spazio $X$ non è 1-numerabile, succedono alcuni guai con le successioni:
-non è detto che se $A\subX$, $x$ di accumulazione per $A$, allora esiste $(x_n)$ successione di elementi di $A$ , $x_n\tox$.
-non è detto che se $(x_n)$ è una successione in $X$, $x$ è un punto di accumulazione per l'insieme ${x_n | n\inNN}$, allora esiste una sottosuccessione convergente ad $x$.
e poi ce ne saranno chissà quanti altri, ma solo questi sono quelli che mi ricordo!
Se qualcuno ha tempo e voglia potrebbe essere un esercizio simpatico costruire dei controesempi sfruttando il fatto che $RR$ con la topologia cofinita non è 1-numerabile. Il secondo punto, a occhio, mi pare più abbordabile.
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